Kezdőlap


Feladat:	1441. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bizám György , Csáki Frigyes , Csuri Vilmos , Engel J. , Fonó András , Fonó Péter , Freud Géza , Grünfeld Sándor , Hajnal Miklós , Halász Iván , Hoffmann Tibor , Horváth M. , Horváth Sándor , Jakab Károly , Klein József , Lang I. , Laub György , Lipsitz Imre , Lőke Endre , Matolcsy Kálmán , Ozoróczy Gyula , Pál Sándor , Petrovics J. , Sándor Gyula , Sellmann Tibor , Szabó Béla , Szlovák István , Taksony György , v. Rigó M. B. , Volena-Koczor Imre
Füzet:	1938/november, 64 - 65. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Prímtényezős felbontás, Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/szeptember: 1441. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat követelményéből folyik, hogy a szóbanforgó haladványok bármelyikének különbsége, $d$ , egész szám és $d < 100$ .
Nyilván $3103 - 100 = 3003$ a $d$ valamely többszöröse, ill. $d$ a $3003$ oly osztója, mely $100$ -nál kisebb. Már most:

\begin{matrix} 3003 = 1 \cdot 3 \cdot 1001 = 1 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 91 = 1 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \end{matrix}

100

-nál kisebb osztók:

1

3

7

11

13

21

33

39

77

91

.
Minthogy

\begin{matrix} 100 = a_{1} + d x, \end{matrix}

a_{1}

azon

d

-nél nem nagyobb maradék, mely fellép akkor, ha

100

-at

d

-vel osztjuk. Ezen maradéknak pedig

10

-nél kisebbnek kell lennie.
Utóbbi ok miatt

21

39

77

nem jöhet tekintetbe.

\begin{matrix} (100 = 4 \cdot 21 + 16 = 2 \cdot 39 + 12 = 1 \cdot 77 + 23) . \end{matrix}

Ha tehát

\begin{matrix} d = 1, 3, 7, 11, 13, 33, 91, \end{matrix}

akkor rendre

\begin{matrix} a_{1} = 1, 1, 2, 1, 9, 1, 9. \end{matrix}

Feladatunknak eszerint hét számtani haladvány felel meg:

\begin{matrix} 1, & 2, & 3, & 4, ... & 9, & 22, & 35, & 48, ... \\ 1, & 4, & 7, & 10, ... & 1, & 34, & 67, & 100, ... \\ 2, & 9, & 16, & 23, ... & 9, & 100, & 191, & 282, ... \\ 1, & 12, & 23, & 34, ... \end{matrix}

Bizám György (Bolyai g. VII. o. Bp. V.).

Jegyzet.

a_{1}

-re azon követelést állítottuk fel, hogy

d

-nél ne legyen nagyobb. Ha megengedjük, hogy

a_{1}

d

-nél nagyobb is lehet, akkor pl. az

\begin{matrix} 1, & 2, & 3, & 4 ... & haladvány & kezdődhetik & 2, & 3, ... & 9 & tagokkal, \\ 1, & 4, & 7, & 10 ... & ,, & ,, & 4, & 7, & ,, \\ 2, & 9, & 16, & 23 ... & ,, & ,, & 9, & ,, \end{matrix}