Kezdőlap


Feladat:	1439. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bizám György , Freud Géza , Sándor Gyula , Taksony György
Füzet:	1938/október, 47 - 48. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Thalesz tétel és megfordítása, Középponti és kerületi szögek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/május: 1439. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B C △$ magassági pontja $M$ . Az $M P$ átmérő felett szerkesztett $k$ kör keresztülmegy az $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ pontokon. (Thales tétele!) A kerületi szögek tétele szerint a $k$ körben

\begin{matrix} \hat{A_{1} M B_{1}} = \hat{A_{1} C_{1} B_{1}} . \end{matrix}

Azonban

\hat{A_{1} M B_{1}} = \hat{A C B}

, mert e két szög szárai megfelelően merőlegesek egymásra.
Tehát

\begin{matrix} \hat{A_{1} C_{1} B_{1}} = \hat{A C B} . \end{matrix}

Hasonlóan

\begin{matrix} \hat{C_{1} B_{1} A_{1}} = \hat{C B A} és \hat{B_{1} A_{1} C_{1}} = \hat{B A C}, \end{matrix}

azaz az

A_{1} B_{1} C_{1} △

szögei egyenlők az

A B C △

szögeivel. Ebből következik

A_{1} B_{1} C_{1} △ \sim A B C △

. Ha már most az

A_{1} B_{1} C_{1} △

köré írt kör átmérője,

M P

, egyenlő az

A B C △

köré írt kör átmérőjével, akkor

A_{1} B_{1} C_{1} △ ≅ A B C △

.
Eszerint a

P

pontnak az

A B C △

magassági pontjától akkora távolságban kell lennie, mint amekkora az

A B C △

köré írt kör átmérője; ha

M P

evvel nem egyenlő, akkor

A_{1} B_{1} C_{1} △

nem lehet egybevágó

A B C △

-gel. A

P

pont mértani helye csakugyan kör, melynek középpontja

M

és sugara

(M P)

A B C △

köré írt kör átmérőjével egyenlő.

Sándor Gyula (Kölcsey g. VII. Bp. VI.)