Kezdőlap


Feladat:	1438. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bizám György , Csuri Vilmos , Freud Géza , Grünfeld Sándor , Halász Iván , Kézdi Ferenc , Klein J. , Lipsitz Imre , Sándor Gyula , Szittyai Dezső , Szlovák István , Taksony György , vitéz Rigó M. B.
Füzet:	1938/október, 46 - 47. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/május: 1438. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A_{1} A_{3} A_{5} △$ oldalaira, csúcspontjaiból kiindulva a pozitív forgás irányában felmért $x$ távolságok végpontjai $C_{1}$ , $C_{2}$ , $C_{3}$ , a negatív forgás irányában analóg pontok $D_{1}$ , $D_{2}$ , $D_{3}$ . A $C_{1} C_{2} C_{3}$ és $D_{1} D_{2} D_{3}$ szabályos háromszögek oldalainak metszéspontjai a $B_{1}$ , $B_{2}$ , $B_{3}$ , $B_{4}$ , $B_{5}$ , $B_{6}$ .
$C_{1}$ és $D_{1}, C_{3}$ és $D_{3}$ szimmetrikus pontpárok az $A_{1} A_{2} A_{3} △$ -nek $A_{1} A_{4}$ magassági vonalára (szimmetriatengelyére) nézve. Kell tehát, hogy $C_{1} C_{3}$ , és $D_{1} D_{3}$ metszéspontja, $B_{1}$ , az $A_{1} A_{4}$ tengelyen feküdjék. Hasonlóan $B_{3}$ -nak az $A_{3} A_{6}$ , $B_{5}$ -nek az $A_{5} A_{2}$ tengelyen kell feküdnie, mégpedig úgy, hogy $O B_{1} = O B_{3} = O B_{5}$ legyen, ahol $O$ az $A_{1} ... A_{6}$ szabályos hatszög, ill. az e köré írt kör középpontja. $(O A_{i} = r)$ . Egyszersmind

\begin{matrix} B_{1} B_{3} = B_{3} B_{5} = B_{5} B_{1} . \end{matrix}

Ha pedig a

B_{1} ... B_{6}

sokszög szabályos, akkora a

B_{2}

B_{4}

B_{6}

pontoknak is az

O

körül

O B_{1} = O B_{3} = O B_{5} = ϱ

sugárral leírt körön kell feküdniök. Ekkor tehát a

B_{1} B_{2} ... B_{6}

hatszög oldala

= ϱ

. Továbbá

α = O B_{1} B_{2} ∢ = O B_{1} B_{6} ∢ = 60^{\circ}

; ezeknek csúcsszöge:

ε = A_{1} B_{1} C_{1} ∢ = A_{1} B_{1} D_{1} ∢ = 60^{\circ}

. Ebből következik, hogy az

A_{1} B_{1} C_{1}

A_{1} B_{1} D_{1}

háromszögek derékszögűek és hogy

\begin{matrix} δ = C_{1} B_{1} B_{2} ∢ = D_{1} B_{1} B_{6} ∢ = 60^{\circ} s. í. t. \end{matrix}

Eszerint a

C_{1} B_{1} B_{2}

D_{1} B_{1} B_{6}

stb. analog háromszögek is egyenlőoldalúak; oldaluk megegyezik a

B_{1} ... B_{6}

szabályos hatszög oldalával, t. i.

ϱ

-val:

B_{1} C_{1} = B_{1} D_{1} = ... = ϱ = B_{1} B_{2} = ...

Az előbbiekből következik azonban, hogy az

A_{1} D_{1} D_{3}

derékszögű háromszög átfogója

A_{1} D_{3}

a kisebbik befogónak,

x

-nek kétszerese, azaz

A_{1} D_{3} = 2 x

és

A_{1} A_{3} = 3 x

, tehát

x = \frac{A_{1} A_{3}}{3} = \frac{r \sqrt[]{3}}{3}

2^{\circ}

3^{\circ}

. Továbbá:

A_{1} B_{1} = B_{1} D_{3} = 2 ϱ

; így

A_{1} O = r = 3 ϱ

, azaz

ϱ = \frac{r}{3}

tehát

\begin{matrix} ϱ : r = 1 : 3. \end{matrix}

A_{1} A_{2} ... A_{6}

sokszög területe:

T_{6} = 6 \cdot \frac{r^{2} \sqrt[]{3}}{4} = \frac{\sqrt[]{3} r^{2} 3}{2} .

B_{1} B_{2} ... B_{6},,,, t_{6} = 6 \frac{ϱ^{2} \sqrt[]{3}}{4} = 6 \cdot \frac{r^{2}}{9} \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{4} = \frac{r^{2} \sqrt[]{3}}{6} = \frac{T_{6}}{9}

.
Az

A_{1} A_{3} A_{5}

háromszög területe:

T_{3} = \frac{T_{6}}{2} = \frac{3 r^{2} \sqrt[]{3}}{4} .

\begin{matrix} t_{6} : T_{3} : T_{6} = \frac{1}{9} : \frac{1}{2} : 1 = 2 : 9 : 18. \end{matrix}

Taksony György (Ág. ev. g. VII. o. Bp.)