Kezdőlap


Feladat:	1437. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bizám György , Fonó Katalin , Freud Géza , Sándor Gyula , Taksony György
Füzet:	1938/október, 45 - 46. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Négyzetek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat, Terület, felszín
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/május: 1437. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $O B = 2 a$ oldalú négyzet $C$ középpontjából állítsunk merőlegest az $M N P Q$ érintő-négyzet $N P$ oldalára, ill. az ezzel párhuzamos $O D$ -re, mely az $O B$ -vel a $D O B = x$ szöget zárja be és meghatározza az $M N P Q$ négyzet oldalainak irányát. Eszerint $O D ⊥ M N$ , tehát $O D$ az $M N$ oldal $A$ érintési pontján megy keresztül; $O A = a$ . A $C$ pont az $M N P Q$ négyzetnek is középpontja; ezért $C D$ az $N P$ -t az $E$ pontban felezi. Jelölje $y$ a beírt négyzet oldalát:

\begin{matrix} y = N P = 2 N E = 2 A D = 2 (O D - O A) . \end{matrix}

Minthogy

C O B = \frac{π}{4}

, azért

C O D = \pm (\frac{π}{4} - x),

és az

O C D

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} O D = O C cos (\frac{π}{4} - x) = a \sqrt[]{2} cos (\frac{π}{4} - x) . \end{matrix}

\begin{matrix} y = 2 [a \sqrt[]{2} cos (\frac{π}{4} - x) - a] = \\ = 2 a [\sqrt[]{2} cos (\frac{π}{4} - x) - 1] . \end{matrix}

A négyzet területe:

\begin{matrix} y^{2} = 4 a^{2} {[\sqrt[]{2} cos (\frac{π}{4} - x) - 1]}^{2}, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} 0 ≦ x ≦ \frac{π}{2} . \end{matrix}

x = 0

cos (\frac{π}{4} - 0) = \frac{\sqrt[]{2}}{2}

és

y^{2} = 0

\begin{matrix} x = \frac{π}{2} mellett szintén y^{2} = 0. \end{matrix}

x

növekedik,

\frac{π}{4} - x

csökken,

cos (\frac{π}{4} - x)

növekedik mindaddig, amíg

cos (\frac{π}{4} - x) = 1

, tehát

\frac{π}{4} - x = 0

azaz

x = \frac{π}{4}

lesz.
Ha

x

tovább növekedik,

cos (\frac{π}{4} - x)

csökken és ugyanazon értékeket veszi fel

\frac{π}{4}

és

\frac{π}{2}

között, mint 0 és

\frac{π}{4}

között.

Hasonlóan a négyzet területe is 0-tól növekedik egy maximumig és ennek értéke:

\begin{matrix} y_{m a x}^{2} = 4 a^{2} {(\sqrt[]{2} - 1)}^{2} = 4 a^{2} (3 - 2 \sqrt[]{2}) \sim 0, 686 a^{2} . \end{matrix}

Ezen értéket akkor éri el, midőn

x = \frac{π}{4}

, tehát amidőn a beírt négyzet oldalai az

O B

oldalú négyzet átlóival párhuzamosak.
Ha

x

tovább növekedik

\frac{π}{4}

-től

\frac{π}{2}

-ig, a beírt négyzet területe ugyanazon értékeken keresztül csökken vissza

0

-ig.

Freud Géza (Berzsenyi g. VI. o. Bp. V.).

¹cos(

\frac{π}{4}

-x)=cos(x-

\frac{π}{4}