Kezdőlap


Feladat:	1436. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Freud Géza , Sándor Gyula , Taksony György
Füzet:	1938/október, 44 - 45. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Euler-egyenes, Koordináta-geometria, Egyenes, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Mértani helyek, Parabola, mint mértani hely, Feladat, Harmadfokú függvények
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/május: 1436. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Derékszögű koordinátarendszerünk $X$ -tengelye legyen az $A B$ egyenes, origoja $A B$ felezőpontja. Az $A$ pont koordinátái: $(- a, 0)$ , a $B$ ponté $(a, 0)$ és a változó $C$ ponté $(ξ, η)$ .
A háromszög Euler-egyenese keresztülmegy a háromszög súlypontján, a körülírt kör középpontján (és a magassági pontján is). A szóbanforgó háromszög $S$ súlypontjának koordinátáit

\begin{matrix} x' = \frac{- a + a + ξ}{3} = \frac{ξ}{3} és y' = \frac{0 + 0 + η}{3} = \frac{η}{3} . \end{matrix}

A körülírt kör

K

középpontja az

Y

-tengelyen fekszik, tehát abscissája

p = 0

; ordinátája legyen

q

. Ekkor

\begin{matrix} {(0 - a)}^{2} + {(q - 0)}^{2} = {(0 - ξ)}^{2} + {(q - η)}^{2}; innen q = \frac{ξ^{2} + η^{2} - a^{2}}{2 η} . \end{matrix}

K S

egyenes egyenlete

\begin{matrix} y - \frac{η}{3} = \frac{\frac{ξ^{2} + η^{2} - a^{2}}{2 η} - \frac{η}{3}}{0 - \frac{ξ}{3}} (x - \frac{ξ}{3}) . \end{matrix}

Rendezve:

\begin{matrix} y = \frac{3 a^{2} - 3 ξ^{2} - η^{2}}{2 ξ η} (x - \frac{ξ}{3}) + \frac{η}{3} ... \end{matrix}

(1)

Ezen egyenes keresztülmegy a szilárd

(x_{0}, y_{0})

ponton, ha ennek koordinátái kielégítik az 1) egyenletet, tehát ha

\begin{matrix} y_{0} = \frac{3 a^{2} - 3 ξ^{2} - η^{2}}{2 ξ η} (x_{0} - \frac{ξ}{3}) + \frac{η}{3} . \end{matrix}

Ezen egyenlet most már a változó

ξ

η

koordináták közötti összefüggés, azon vonal egyenletét jelenti, amelyen a

C

pontnak kell feküdnie. Ezen egyenlet a következő alakra hozható:

\begin{matrix} (ξ - x_{0}) η^{2} - 2 ξ y_{0} η + ξ^{3} - 3 x_{0} ξ^{2} - a^{2} ξ + 3 a^{2} x_{0} = 0 ... \end{matrix}

(2)

Így egy harmadrendű görbe egyenletét kaptuk.
Ha már most

x_{0} = 0

y_{0} = 0

, akkor a

C

pont mértani helyének egyenlete:

\begin{matrix} ξ η^{2} + ξ^{3} - a^{2} ξ \equiv ξ (ξ^{2} + η^{2} - a^{2}) = 0 ... \end{matrix}

(3)

A mértani hely eszerint két részből áll: az egyik egyenlete

ξ = 0

, azaz az

Y

tengely. Ha a

C

csúcs az

Y

-tengelyen fut végig, mindegyik

A B C △

egyenlőszárú és Euler-egyenese az

Y

-tengely, a szilárd

O

ponton megy keresztül. (Ilyen háromszögek súlypontja és

K

pontja az

Y

-tengelyen fekszik!)
A másik rész egyenlete:

ξ^{2} + η^{2} - a^{2} = 0

. Ez oly kört jelent, melynek középpontja

O

és keresztülmegy az

A

B

pontokon. Ha már most

C

ezen körön van, az

A B C △

Euler-egyenese az

O C

egyenes, az

O

körül forog! (

O

A B C △

köré írt kör középpontja,

C

a magassági pont; a súlypont az

O C

-n fekszik.)
A megoldások nem veszik figyelembe az

Y

-tengelyt, mint a mértani hely egyik részét.