Kezdőlap


Feladat:	1433. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bizám György , Csuri Vilmos , Egri György , Fonó Katalin , Freud Géza , Halász Iván , Hoffmann Tibor , Sándor Gyula , Taksony György
Füzet:	1938/október, 40. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai valószínűség, Feladat, Terület, felszín, Kör geometriája
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/május: 1433. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott $k$ körnek a $P$ ponton átmenő átmérője legyen, ábránk szerint, $A B$ . Húzzunk a $P$ ponton keresztül $A B$ -re merőlegest Ha olyan $γ$ kört akarunk szerkeszteni, mely keresztülmegy a $P$ , $M$ , $M'$ pontokon és $O$ -t magába foglalja, akkor az $M$ pont ezen merőlegesnek csakis azon oldalán feküdhetik, amelyen az $O$ pont van. Minthogy $M'$ az $M$ -nek $A B$ -re vonatkozó szimmetrikusa, a $γ$ kör $m$ középpontja az $A B$ egyenesen fekszik.

Hogy

γ

teljesen a

k

körön belül legyen, annak az a feltétele, hogy átmérője legfeljebb

A P = r + a

legyen.

A P

felező pontja,

C_{1}

ezen

γ_{1}

határkör középpontja,

A

és

O

között van. Távolsága

O

-tól

\begin{matrix} C O = C P - O P = \frac{r + a}{2} - \frac{a}{2} = \frac{r - a}{2} . \end{matrix}

Hogy

γ

magában foglalja az

O

pontot is, annak feltétele, hogy átmérője legalább

O P = a

legyen. Ha az

O P = a

átmérőjű kör középpontja

D

és

M

ezen

γ_{2}

körön belül van, akkor

O

M

P

M'

pontokon átmenő körön kívül fekszik,
Eszerint az

M

pontnak a

γ_{1}

és

γ_{2}

körök által határolt síkrészen kell feküdnie. A keresett valószínűség ezen síkrész területének és a

k

kör területének viszonya:

\begin{matrix} v = \frac{{(\frac{r + a}{2})}^{2} π - {(\frac{a}{2})}^{2} π}{r^{2} π} = \frac{r + 2 a}{4 r} = \frac{1}{4} + \frac{a}{2 r} . \end{matrix}

Ha pl.

a = \frac{r}{2}, v = \frac{1}{2}

.
Hoffmann Tibor (Szent István g. VI. o. Bp. XIV.)