Kezdőlap


Feladat:	1432. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baán Sándor , Bagdy D. , Bizám György , Csuri Vilmos , Egri György , Fekete A. , Fonó András , Freud Géza , Grünfeld Sándor , Halász Iván , Hoffmann Tibor , Kézdi Ferenc , Klein J. , Sándor Gyula , Szlovák István , Taksony György , vitéz Rigó M. B.
Füzet:	1938/október, 39. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sorozat határértéke, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/május: 1432. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gyökmennyiségeket mint 3 hatványait írjuk fel; az egyenlő alapú hatványok szorzatában a közös alapot (3) a kitevők összegére emeljük. Így keletkezik az

\begin{matrix} S_{n - 1} = \frac{1}{3^{2}} + \frac{2}{3^{3}} + \frac{3}{3^{4}} + \frac{4}{3^{5}} + ... + \frac{n - 1}{3^{n}} \end{matrix}

összeg. Már most

\begin{matrix} \frac{1}{3} S_{n - 1} = \frac{1}{3^{3}} + \frac{2}{3^{4}} + \frac{4}{3^{6}} + ... + \frac{n - 2}{3^{n}} + \frac{n - 1}{3^{n + 1}} . \end{matrix}

A két egyenlet megfelelő tagjait kivonva:

\begin{matrix} \frac{2}{3} S_{n - 1} & = \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + \frac{1}{3^{4}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + \frac{1}{3^{n + 1}} - \frac{n}{3^{n + 1}} \\ 2 S_{n - 1} & = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + ... + \frac{1}{3^{n - 1}} + \frac{1}{3^{n}} - \frac{n}{3^{n}} . \end{matrix}

A jobboldalon álló első

n

tag mértani sort alkot, amelynek hányadosa

\frac{1}{3}

. Ha már most

n \to \infty

, akkor

\begin{matrix} 2 {lim}_{}^{}_{n \to \infty}^{} S_{n - 1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} - {lim}_{}^{}_{n \to \infty}^{} \frac{n}{3^{n}} = \frac{1}{2} - {lim}_{}^{}_{n \to \infty}^{} \frac{n}{3^{n}} = \frac{1}{2}, \end{matrix}

mert

\begin{matrix} {lim}_{}^{}_{n \to \infty}^{} \frac{n}{3^{n}} = 0. \end{matrix}

Ugyanis az

\begin{matrix} \frac{1}{3}, \frac{2}{3^{2}}, \frac{3}{3^{3}}, ... \frac{10}{3^{10}}, ... \frac{n}{3^{n}} \end{matrix}

sorozat tagjai folyton kisebbednek, úgy, hogy ha

n

elég nagy, akkor

\frac{n}{3^{n}}

értéke bármely kis számnál kisebb.
Eszerint

\begin{matrix} {lim}_{}^{}_{n \to \infty}^{} S_{n - 1} = \frac{1}{4} . \end{matrix}

A gyökmennyiségek szorzatának határértéke:

3^{\frac{1}{4} .} = \sqrt[4]{3}

Szlovák István (Vörösmarthy g. V. o. Bp. VIII.)