Feladat: 1431. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bagdy D. ,  Bizám György ,  Csuri Vilmos ,  Fekete A. ,  Fonó András ,  Fonó Péter ,  Freud Géza ,  Halász Iván ,  Hoffmann Tibor ,  Klein J. ,  Ozoróczy Gyula ,  Sándor Gyula ,  Szittyai Dezső ,  Taksony György 
Füzet: 1938/október, 38 - 39. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Prímtényezős felbontás, Természetes számok, Feladat, Tizes alapú számrendszer
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1938/május: 1431. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a keresett szám x, akkor a feladat szerint

x3-x2=100000a+10000b+1000c+100a+10b+c<106x3-x2=1001(100a+10b+c)x2(x-1)=7⋅11⋅13y,ha t.i.y=100a+10b+c.


x csak kétjegyű szám lehet; ha ugyanis
x=101,akkorx2(x-1)=1012⋅100>1003=106

x=100, akkor x2(x-1)=990,000, nem felel meg a követelménynek (mert nem abcabc¯ alakú)! Tehát x<99.
Másrészt pedig abcabc¯ alakú szám legkisebb értéke 100100
azaz
x2(x-1)≧100100
és így
x3>100100,ill,x>1001003.

Minthogy
46<1001003<47,azértx≧47.

Eszerint x oly kétjegyű szám, mely 47 és 99 között van; továbbá kell, hogy az x2(x-1) szorzat osztható legyen a 7, 11, 13 törzsszámok szorzatával, tehát vagy x vagy x-1 osztható ezen törzsszámok valamelyikével, ill. a belőlük alkotható szorzatokkal. Vizsgáljuk már most a lehetséges eseteket.
1. Ha x csak 7-tel osztható, akkor kell, hogy x-1 a 11⋅13 szorzattal legyen osztható. Ekkor azonban x>100; ezen esetet ki kell zárnunk.
2. x csak 11-gyel osztható. Ekkor kell, hogy x-1 osztható legyen 7⋅13=91-gyel; mivel x<100, x-1=91 lenne és x=92. Ez azonban nem többszöröse 11-nek és így ezen eset sem jöhet figyelembe!
3. x csak 13-mal osztható; ekkor x-1 osztható 7⋅11=77-tel. Minthogy x<100, csak x-1=77 lehetséges és így x=78. Ez valóban megfelel, mert x=78 többszöröse 13-nak1 és
783-782=468468,
azaz abcabc alakú szám.
4. x osztható 7⋅11 szorzattal. Ekkor x=77, x-1=76. Utóbbi nem többszöröse 13-nak. Nem felel meg!
5. x osztható 7⋅13 szorzattal. Ekkor x=91, x-1=90. Ez sem felel meg, mert 90 nem többszöröse 13-nak.
6. x nem lehet 11⋅13 és így 7⋅11⋅13 többszöröse sem, mert x<100.
Kimerítettük az összes lehetséges eseteket és amint látjuk, a feladatnak csak egy megoldása van: x=78.
 
 Ozoróczy Gyula (Verbőczy g. VI. o. Bp. I.)
1782⋅77=7⋅11⋅13⋅y; innen 13y=782=62⋅132, y=62⋅13=468.