Kezdőlap


Feladat:	1428. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bizám György , Csuri Vilmos , Fonó András , Grünfeld Sándor , Hajdu Á. , Hajnal Miklós , Hoffmann Tibor , Lipsitz Imre , Nádler Miklós , Sándor Gyula , Szittyai Dezső , Szlovák István , Weisz Alfréd
Füzet:	1938/szeptember, 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Feladat, Középponti és kerületi szögek, Háromszögek szerkesztése, Háromszög nevezetes vonalai
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/április: 1428. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tetszőleges $A B C △$ köré szerkesszünk kört és határozzuk meg a körön a belső szögfelezőknek a körrel való (második) metszéspontjait, az $A'$ , $B'$ , $C'$ pontokat.

A A'

és

B' C'

a körnek két húrja, mely egymásra merőleges. Ugyanis a körnek

\hat{A' C}

íve ‐ a

\hat{B A' C}

ív fele ‐ az

α

szöget a

\hat{C B}

íve a

β

, az

\hat{A C'}

íve a

γ

szöget méri, azaz az

A A'

és

B B'

húrok által kimetszett ívek összege:

\begin{matrix} α + β + γ = 180^{\circ} . \end{matrix}

Ebből következik, hogy a két húr egymásra merőleges. Hasonlóan:

B B' ⊥ A C'

C C' ⊥ A' B'

. Ez annyit jelent, hogy az

A B C △

szögfelezői az

A' B' C' △

magasságvonalai.
Eszerint nem kell egyebet tennünk, mint az

A' B' C' △

magasságvonalait megszerkesztenünk; ezeknek a körülírt körrel való (második) metszéspontjai a keresett háromszög

A

B

C

csúcsai.
Látható továbbá a kerületi szögek tétele alapján, hogy ha az

A' B' C' △

szögei

α'

β'

γ'

, akkor

\begin{matrix} α' = \frac{β + γ}{2}, β' = \frac{γ + α}{2}, γ' = \frac{α + β}{2} . \end{matrix}

Ebből következik a szerkesztés lehetőségének azon feltétele, hogy az

A' B' C' △

hegyesszögű tartozik lenni!

Szlovák István (Vörösmarty Mihály g. V. o. Bp. VIII.)