Feladat: 1426. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bizám György ,  Bulkay Lajos ,  Csuri Vilmos ,  Egri György ,  Fonó Péter ,  Freud Géza ,  Grünfeld Sándor ,  Hajnal Miklós ,  Kemény György ,  Krisztonosich Jenő ,  Nádler Miklós ,  Sándor Gyula ,  Schreiber Béla ,  Szlovák István ,  Zubek P. 
Füzet: 1938/szeptember, 16. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Azonosságok, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1938/április: 1426. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α-β)] összefüggés alapján az egyenlet baloldalán álló szorzatok összege:

12(cos6π7+cos2π7+cos10π7+cos2π7+cos8π7+cos4π7).
Azonban
cos8π7=cos6π7,cos10π7=cos4π7,
és így az összeg
12(2cos2π7+2cos4π7+2cos6π7)=cos2π7+cos4π7+cos6π7


alakban írható. Ezen összeg értéke az 1372. feladat szerint (XIV. évf. 5. sz.) -12.
Hajnal Miklós (Izr g. VII. o. Bp.)

 

II. Megoldás. Az 1394. feladat II. megoldásában (XIV. évf. 7. sz.) megállapítottuk, hogy az
y3+y2-2y-1=0
egyenlet gyökei:
y1=2cos2π7,y2=2cos4π7,y3=2cos6π7.

Azonban tekintettel arra, hogy
y3+y2-2y-1(y-y1)(y-y2)(y-y3),y1y2+y2y3+y3y1=-2,


tehát
4(cos2π7cos4π7+cos4π7cos6π7+cos6π7cos2π7)=-2
és így
cos2π7cos4π7+cos4π7cos6π7+cos6π7cos2π7=-12.

Freud Géza (Berzsenyi Dániel. g. VI. o. Bp. V.)
Sándor Gyula (Kölcsey Ferenc. g. VII. o. Bp. VI.)