Az $f\left(x\mathrm{,}y\right)=0$ harmadfokú görbén fekvő $P$ pont koordinátái: $\left(x_0\mathrm{,}{y}_0\right)$, legyenek racionális számok. A görbéhez $P$ pontban húzott érintő a görbét még egy pontban metszi^{${}^{*}$}.
Ha az érintő egyenletéből $y$-t, mint $x$ függvényét kifejezzük és ezen kifejezést az $f\left(x\mathrm{,}y\right)=0$ egyenletben $y$ helyébe tesszük, akkor $x$-re nézve harmadfokú $g\left(x\right)=0$ egyenletet nyerünk, melynek minden együtthatója racionális szám. A $g\left(x\right)=0$ egyenletnek kétszeres gyöke $x_0$; gyökeinek szorzata $x_0^{2}x\text{'}$, ha t. i. $x\text{'}$ a görbe és az érintő metszéspontjának abszcisszája. Azonban $-x_0^{2}x\text{'}$ a tiszta tag és $x^3$ együtthatójának hányadosával egyenlő, tehát egy racionális számmal és így $x\text{'}$ is, ill. $y\text{'}$ is racionális szám. $P\text{'}\left(x\text{'}\mathrm{,}y\text{'}\right)$ pontból kiindulva, hasonló eljárással jutunk $P\text{'}\text{'}$-höz, melynek koordinátái racionális számok és így tovább.
Ha $\left(x_0\mathrm{,}{y}_0\right)$ inflexiós pont, akkor ezen ponthoz tartozó érintő a görbét nem metszi.