Kezdőlap


Feladat:	1422. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Freud Géza , Hoffmann Tibor , Krisztonosich Jenő , Nádler Miklós , Sándor Gyula , Schreiber Béla
Füzet:	1938/szeptember, 11 - 12. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes körhengerek, Határozott integrál, Mértani sorozat, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat, Térfogat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/április: 1422. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $a$ az ellipszis fél nagy tengelyét, $b$ a fél kis tengelyét. Az ellipszis egyenlete a főtengelyekre, mint koordináta-tengelyekre vonatkozik, úgy, hogy az $X$ tengely a nagytengely tartója. Ha az ellipszist a kis tengelye, azaz az $X$ -tengely körül forgatjuk, akkor az így keletkező ellipszoid köbtartalma:

\begin{matrix} V_{e} = 2 π \int_{0}^{b} x^{2} d y = 2 π \frac{a^{2}}{b^{2}} \int_{0}^{b} (b^{2} - y^{2}) d y = 2 π \frac{a^{2}}{b^{2}} {[b^{2} y - \frac{y^{3}}{3}]}_{0}^{b} = \\ = 2 π \frac{a^{2}}{b^{2}} (b^{3} - \frac{b^{3}}{3}) = \frac{4 π a^{2} b}{3} . \end{matrix}

1. Írjunk az ellipszisbe téglalapot; az első negyedbe eső csúcsának koordinátái:

a_{1}

b_{1}

,. Ha e téglalapot az

Y

-tengely körül forgatjuk, az így keletkező henger térfogata:

a_{1}^{2} π \cdot 2 b_{1}

a_{1}

b_{1}

kielégítik az ellipszis egyenletét:

\begin{matrix} b^{2} a_{1}^{2} + a^{2} b_{1}^{2} = a^{2} b^{2}, tehát a_{1}^{2} = \frac{a^{2}}{b^{2}} (b^{2} - b_{1}^{2}) \end{matrix}

A henger térfogata:

V_{1} = 2 π \frac{a^{2}}{b^{2}} (b^{2} b_{1} - b_{1}^{3})

.

A henger térfogata itt

b_{1}

függvénye. Szélső értéke akkor áll elő, ha

b_{1}

szerinti differenciál hányadosa eltűnik, azaz ha

\begin{matrix} V'_{1} = 2 π \frac{a^{2}}{b^{2}} (b^{2} - 3 b_{1}^{2}) = 0 tehát ha b_{1} = b \sqrt[]{\frac{1}{3}} . \end{matrix}

Ezen

b_{1}

érték mellett

V_{1}

-nek maximuma van, mert

V'_{1}

pozitív értékekből megy át negatív értékekbe.

a_{1}

értékére nézve ekkor

\begin{matrix} a_{1}^{2} = \frac{a^{2}}{b^{2}} (b^{2} - \frac{b^{2}}{3}) = \frac{2 a^{2}}{3}, a_{1} = a \sqrt[]{\frac{2}{3}} . \end{matrix}

A henger maximális térfogata pedig

\begin{matrix} V_{h} = 2 π \frac{a^{2}}{b^{2}} (b^{3} \sqrt[]{\frac{1}{3}} - \frac{b^{3}}{3} \sqrt[]{\frac{1}{3}}) = \frac{4 π a^{2} b}{3} \sqrt[]{\frac{1}{3}} = V_{e} \sqrt[]{\frac{1}{3}} . \\ V_{h} : V_{e} = 1 : \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Ezen hengerbe írt ellipszoid olyan ellipszis forgásából keletkezik, melynek fél nagytengelye

a_{1} = a \sqrt[]{\frac{2}{3}}

, fél kistengelye

b_{1} = b \sqrt[]{\frac{1}{3}}

. Ezen ellipszoid térfogata

\begin{matrix} \frac{4 π a_{1}^{2} b_{1}}{3} = \frac{4 π a^{2} b^{2}}{3} \cdot \frac{2}{3} \sqrt[]{\frac{1}{3}} = V_{e} \cdot \frac{2}{3} \sqrt[]{\frac{1}{3}} . \end{matrix}

Az egymás után következő ellipszoidok térfogatai eszerint oly mértani haladványt alkotnak, melynek hányadosa:

\frac{2}{3} \sqrt[]{\frac{1}{3}} = \sqrt[]{\frac{4}{27}} < 1

. A végtelen mértani sor összetartó és összege

\begin{matrix} S_{e} = V_{e} \frac{1}{1 - \sqrt[]{\frac{4}{27}}} = V_{e} \frac{1 + \sqrt[]{\frac{4}{27}}}{1 - \frac{4}{27}} = \frac{27}{23} V_{e} (1 + \sqrt[]{\frac{4}{27}}) \\ S_{e} = \frac{36}{23} a^{2} b π (1 + \sqrt[]{\frac{4}{27}}) = \frac{36}{23} a^{2} b π (1 + \frac{2 \sqrt[]{3}}{9}) . \end{matrix}

Az ellipszoidokba írt legnagyobb térfogatú hengerek térfogatai is olyan mértani sort alkotnak, melynek hányadosa

\sqrt[]{\frac{4}{27}}

. Láttuk ugyanis, hogy

\begin{matrix} V_{h} = V_{e} \sqrt[]{\frac{1}{3}} \end{matrix}

így

\begin{matrix} \sum V_{h} = \sqrt[]{\frac{1}{3}} \sum V_{e}, vagy S_{h} = S_{e} \sqrt[]{\frac{1}{3}} . \\ S_{h} : S_{e} = 1 : \sqrt[]{3} vagy S_{h} : S_{e} = \sqrt[]{3} : 3. \end{matrix}

Krisztonosich Jenő (Szent László g. VIII. o. Bp. X.)