Kezdőlap


Feladat:	1421. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bizám György , Csuri Vilmos , Egri György , Fonó András , Fonó Péter , Freud Géza , Grünfeld Sándor , Hajdu Á. , Hajnal Miklós , Halász Iván , Hoffmann Tibor , Kemény György , Krisztonosich Jenő , Nádler Miklós , Sándor Gyula , Schreiber Béla , Schreiber D. , Szittyai Dezső , Szlovák István , Weisz Alfréd , Zubek P.
Füzet:	1938/szeptember, 10 - 11. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Oszthatóság, Binomiális együtthatók, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/április: 1421. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás.

\begin{matrix} 2^{3 n + 3} = {(2^{3})}^{n + 1} = 8^{n + 1} = {(7 + 1)}^{n + 1} \\ = (\binom{n + 1}{0}) 7^{n + 1} + (\binom{n + 1}{1}) 7^{n} + (\binom{n + 1}{2}) 7^{n - 1} + ... + \\ + (\binom{n + 1}{n - 1}) 7^{2} + (\binom{n + 1}{n}) 7 + (\binom{n + 1}{n + 1}) = \\ = 7^{2} M + \frac{(n + 1)!}{n! 1!} 7 + 1 = 7^{2} M + (n + 1) 7 + 1 = 7^{2} M + 7 n + 8. \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} 2^{3 n + 3} - 7 n + 41 = 7^{2} M + 7 n + 8 - 7 n + 41 = 49 M + 49, \end{matrix}

azaz a szóbanforgó kifejezés

49

többszöröse.
Csuri Vilmos (Kossuth Lajos g. VII. o. Pestszenterzsébet.)

II. Megoldás.

41 = 49 - 8

, tehát azt kell kimutatunk, hogy

2^{3 n + 3} - 7 n - 8 = 8^{n + 1} - 7 n - 8

osztható

49

-cel.

Mármost

\begin{matrix} 8^{n + 1} - 7 n - 8 = 8^{n + 1} - 1 - (n + 1) 7 = \\ = (8 - 1) (8^{n} + 8^{n - 1} + ... + 8 + 1) - (n + 1) 7 = \\ = 7 (8^{n} + 8^{n - 1} + ... + 8^{2} + 8 - n) = \\ = 7 [(8^{n} - 1) + (8^{n - 1} - 1) + ... + (8^{2} - 1) + (8 - 1)] . \end{matrix}

A szögletes zárójelen belül álló különbségek mindegyike és így összegük is osztható

7

-tel, az egész kifejezés pedig

7 \cdot 7 = 49

-cel.
Szittyai Dezső (Wágner g. V. o. Rákospalota.)

III. Megoldás. Legyen

f (n) = 2^{3 n + 3} - 7 n + 41

. Ha

n = 0

, akkor

f (0) = 2^{3} + 41 = 49

; ha

n = 1

f (1) = 2^{6} - 7 + 41 = 98

. Tegyük fel, hogy

f (n)

osztható

49

-cel; kimutatjuk, hogy akkor

f (n + 1)

49

többszöröse.

\begin{matrix} f (n + 1) = 2^{3 (n + 1) + 3} - 7 (n + 1) + 41 = 2^{3} \cdot 8^{n + 1} - 7 n - 7 + 41 \\ f (n) = 2^{3 n + 3} - 7 n + 41 = 8^{n + 1} - 7 n + 41 \\ f (n + 1) - f (n) = 8^{n + 1} (2^{3} - 1) - 7 = 7 (8^{n + 1} - 1) . \end{matrix}

Azonban

8^{n + 1} - 1

osztható

7

-tel, tehát

\begin{matrix} f (n + 1) - f (n) = 7 \cdot 7 M = 49 M . \end{matrix}

Ebből következik, hogy ha

f (n)

többszöröse

49

-nek, akkor

f (n + 1)

is az. Azonban

f (n)

többszöröse

49

-nek, ha

n = 0

n = 1

, tehát többszöröse az

n

minden egész számú értéke mellett.
Halász Iván (Berzsenyi Dániel g. VII. o. Bp.)