Kezdőlap


Feladat:	1420. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gáspár Rezső , Sándor Gyula , Szentmiklósi L. , Weisz Alfréd
Füzet:	1938/május, 286 - 287. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai bizonyítások, Analógia, mint megoldási módszer, Beírt gömb, Transzverzálisok, Beírt kör, A háromszögek nevezetes pontjai, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/március: 1420. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1 .^{0}$ Ha az $A B C △$ -n belül van olyan $P$ pont, amelyből minden oldal $120^{\circ}$ -ú szög alatt látható, azaz

\begin{matrix} A P B ∢ = B P C ∢ = C P A ∢ = 120^{\circ} ... \end{matrix}

(1)

akkor az

A P

egyenes felezi a

B P C ∢

-et,

B P

C P A ∢

-et,

C P

A P R ∢

-et.
Ha viszont

A P

felezi a

B P C ∢

-et,

B P

C P A ∢

-et,

C P

A P B ∢

-et, akkor az (1) egyenlőség áll elő.

2 .^{0}

Legyen

A B C D

izogónikus tetraéder. A beírt gömb érintési pontjai

A_{1}

B_{1}

C_{1}

D_{1}

. Feltevésünk szerint a

B C D

határlapon az

A_{1}

-et a csúcsokkal összekötő transzverzálisok szögei

120^{\circ}

-úak.

1 .^{0}

szerint

D A_{1}

felezi a

B A_{1} C ∢

-et és

B C

-t az

M

pontban metszi.
Az

A B C

lapon

B D_{1} C ∢ = 120^{\circ}

és

A D_{1}

felezi ezt. Mivel pedig

B A_{1} = B D_{1}

C A_{1} = C D_{1},

¹ azért

B A_{1} C =_{}^{\infty} B D_{1} C △

; a

B D_{1} C ∢

-et felező egyenes ugyanazon

M

pontban metszi

B C

-t, mint a

B A_{1} C ∢

-et felező egyenes. Ebből következik, hogy

A A_{1}

és

D D_{1}

‐ az

A D M

síkban fekvő egyenesek ‐ metszik egymást.
Hasonlóan mutatható ki, hogy a

B B_{1}

ill.

C C_{1}

egyenes, mely nem fekszik az

A D M

síkban, metszi az

A A_{1}

-t és

D D_{1}

-t is: tehát kell, hogy úgy

B B_{1}

mint

C C_{1}

ezek metszőpontján menjen keresztül. Azaz: ha a tetraéder izogónikus, a tetraéderbe írt gömb érintési pontjait a szemközti csúcsokkal összekötő transzverzálisok egy ponton mennek keresztül.

3 .^{0}

Legyen

A B C D

nem izogónikus tetraéder, amelynél pl.

A D_{1} C ∢ \neq C A_{1} D ∢

. Ebben az esetben

D A_{1}

és

A D_{1}

nem metszik

B C

-t ugyanazon pontban.

D A_{1}

és

B C

metszéspontja legyen

M

, az

A D_{1}

és

B C

metszéspontja

M'

.
Bang-tétele értelmében

B A_{1} C ∢ = B D_{1} C ∢

és így

B D_{1} C △ =_{}^{\infty} B A_{1} C △

. Azonban

\begin{matrix} C A_{1} M ∢ = 180^{\circ} - C A_{1} D ∢ \end{matrix}

és

C D_{1} M' ∢ = 180^{\circ} - A D_{1} C ∢

.

Minthogy

C A_{1} D ∢ \neq A D_{1} C ∢

, azért

C A_{1} M ∢ \neq C D_{1} M' ∢

és így

M

és

M'

különböző pontok. Most az

A A_{1}

és

D D_{1}

transzverzálisok nem metszhetik egymást, mert két különböző síkban feküsznek úgy, hogy nem mennek keresztül a két sík közös egyenesének,

A D

-nek ugyanazon pontján.
Ha tehát a tetraéder nem izogónikus, a szóbanforgó transzverzálisok nem metszik egymást. (Kitérő egyenesek!)
Weisz Alfréd (Bolyai g. VIII. o. Bp. V.)

Jegyzet. Kimutathatjuk azt is, hogyha a tételben szereplő transzverzálisok egy ponton mennek keresztül, akkor a tetraéder izogónikus.
Ha ugyanis

A A_{1}

és

D D_{1}

metszik egymást, akkor ezek síkja a

B C

élt az

M

pontban metszi és ‐ az előbbiek szerint ‐

M A_{1} C ∢ = M D_{1} C ∢

. Az

A A_{1}

és

B B_{1}

transzverzálisok is metszik egymást; síkjuk a

C D

élt az

N

pontban metszi és így

C B_{1} N ∢ = C A_{1} N ∢

.
Azonban Bang-fétele szerint

A D_{1} C ∢ = A B_{1} C ∢

és így ezek mellékszögei is egyenlők, t. i.

M D_{1} C ∢ = C B_{1} N ∢

. Ezért egyszersmind

M A_{1} C ∢ = C A_{1} N ∢

,

azaz

C A_{1} felezi az M A_{1} N ill. B A_{1} D ∢

-et.

Hasonlóan:

D A_{1}

felezi a

B A_{1} C ∢

-et és

B A_{1}

felezi a

C A_{1} D ∢

-et Ebből következik

1 .^{0}

szerint, hogy

\begin{matrix} B A_{1} C ∢ - C A_{1} D ∢ = D A_{1} B ∢ = 120^{\circ} . \end{matrix}

Ugyanez áll a többi lapokon is, a beírt gömb érintési pontjait illetőleg, tehát a tetraéder izogónikus.

Weisz Alfréd (Bolyai g. VIII. o., Bp. V.)

¹Egy pontból a gömbhöz húzott érintő-darabok egyenlők!