|
Feladat: |
1418. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bizám György , Bolgár Imre , Csuri Vilmos , Fehér György , Fonó Péter , Freud Géza , Gáspár Rezső , Hoffmann Tibor , Kemény György , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Lipsitz Imre , Mandl Béla , Sándor Gyula , Say Ferenc , Schreiber Béla , Sebestyén Gyula , Steiner Iván , Szerényi László , Szittyai Dezső , Taksony György |
Füzet: |
1938/május,
283 - 285. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feuerbach-kör, Háromszög nevezetes körei, A háromszögek nevezetes pontjai, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Háromszögek szerkesztése, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1938/március: 1418. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az 1397. feladatban (II. megoldás) láttuk, hogy az a hozzátartozó -nek talpponti háromszöge; az köré írt kör az -re nézve Feuerbach-kör és ezen a magasságok talppontjain (, , ), továbbá az oldalak felezőpontjain megy keresztül.
Ezek szerint az Feuerbach-körét meg tudjuk szerkeszteni; ugyanis középpontja a megadott pont és keresztülmegy az távolság felezőpontján. E kör sugara és e körnek az egyenessel való másik metszéspontja a a keresett háromszög csúcsa. Az és csúcsok meghatározása céljából tekintetbe vesszük, hagy egyrészt az előbbi körön, másrészt ‐ Thales tétele szerint ‐ az átmérőjű körön feküsznek. (Ezen kör középpontja , sugara ) Tehát és a és körök közös pontjai. Vizsgáljuk már most a szerkesztés lehetőségének feltételeit. . Szükséges, hogy a és köröknek két közös pontjuk legyen. Minthogy a két kör centrálisa: , a kör sugara, ez kisebb, mint e két sugár összege. Marad a következő feltétel kielégítése: | |
. Az mindenkor hegyesszögű háromszög. Tehát kell, hogy talpponti háromszögének csúcsai az oldalakra essenek (nem a meghosszabbításukra). A pontnak és közé kell esnie, azaz . Ha vetülete az egyenesen , akkor felezi -t (a kör húrját), és így . Így | | (II) | a szerkesztés lehetőségének további feltétele. E két feltételt kielégítve, az valóban szerkeszthető és megfelel a követelménynek.
Sándor Gyula (Kölcsey Ferenc g. VII. o. Bp. VI)
Jegyzet. Azon pontok mértani helye, melyekre nézve oly kör, melynek középpontja az távolság felezőpontja és sugara ,
Az I. feltétel azt jelenti, hogyha az , pontokat rögzítjük, az pontnak a körön kívül kell feküdnie. Húzzunk ezen körhöz az átmérőjének végpontjaiban érintőket. A II. feltétel azt jelenti, hogy az pontnak ezen két egyenes között kell feküdnie. A két feltételt egyesítve, az pontnak a sík azon részében kell feküdnie, melyet ábránkban a vonalkázás jelez. Ha szögei , , és -é: , , . |
|