Kezdőlap


Feladat:	1416. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bíró E. , Bizám György , Bluszt Ernő , Bulkay Lajos , Cseh Sándor , Egri György , Fehér György , Fonó Péter , Freud Géza , Getzler J. , Gutmann A. , Gutmann István , Halász Iván , Haraszthy András , Havas I. , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Kemény Gy. , Királyhidi Gy. , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Lipsitz Imre , Mandl Béla , Marosán Zoltán , Mendelsohn György , Nádler M. , Nagy Elemér , Sándor Gyula , Schreiber Béla , Sebestyén Gyula , Szabó Béla , Szentmiklósi L. , Szerényi László , Szilágyi S. , Szlovák István , Taksony György , Törley D. , Vásárhelyi S.
Füzet:	1938/május, 280 - 282. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Pitagoraszi számhármasok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/március: 1416. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Az $x^{2} + y^{2} = 1$ egyenletet kielégíti a ( $0, 1$ ) értékpár. Ennek oly pont felel meg, mely az $Y$ -tengelyen fekszik. A ( $0, 1$ ) ponton átmenő tetszőleges egyenes egyenlete:

\begin{matrix} y - 1 = m x, ill. y = m x + 1. \end{matrix}

Keressük meg ezen egyenesnek és a körnek másik közös pontját. Ezért helyettesítsük a kör egyenletében

y

helyébe

(m x + 1)

-et:

\begin{matrix} x^{2} + {(m x + 1)}^{2} = 1, vagyis (1 + m^{2}) x^{2} + 2 m x = 0. \end{matrix}

Itt a gyökök:

x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{2 m}{1 + m^{2}}

x_{1} = 0

, a kiindulási pont.

x_{2}

értéke és így

y_{2}

racionális, ha

m

is az. Eszerint az

m

minden racionális értékéhez tartozik egy olyan pont, melynek koordinátái racionális számok.

Krisztonosich Jenő (Szent László g. VIII. o. Bp. X.).

Jegyzet. Egyes megoldásokban hivatkozás történt a XII. évf. 9‐10. számában kitűzött 1230. feladatra; eszerint,
ha a racionális együtthatókkal biró

f (x, y) = 0

másodfokú egyenletnek van egy racionális megoldása, akkor végleten sok van.
Ezen feladatra megoldás nem érkezett. A megoldás az itt közölt módszerrel végezhető.

II. Megoldás. Ismeretes, hogy végtelen sok

a

b

c

egész számokból á11ó számcsoport létezik, amely az

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = c^{2} ... \end{matrix}

(1)

egyenletet kielégíti. Ebből következik, hogy az

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 1 ... \end{matrix}

(2)

egyenletet végtelen sok,

\frac{a}{c}

és

\frac{b}{c}

racionális számokból álló számpár elégíti ki, más szóval a (2) alatti körön végtelen sok olyan pont fekszik, melynek koordinátái racionális számok.

Cseh Sándor (Érseki g. VIII. o. Bp. II.).

Jegyzet.

\frac{a}{c}

és

\frac{b}{c}

az (1) szerint jelenthetik valamely (hegyes) szög sinusát és cosinusát. De ezen szög többi függvénye is racionális szám. Tehát végtelen sok olyan szög van, melynek minden függvénye racionális szám.
Hivatkozás történt még egyes megoldásokban

\begin{matrix} sin α = \frac{2 tg \frac{α}{2}}{1 + {tg}^{2} \frac{α}{2}} és cos α = \frac{1 - {tg}^{2} \frac{α}{2}}{1 + {tg}^{2} \frac{α}{2}} \end{matrix}

képletekre. Ezek alapján, ha

tg \frac{α}{2}

racionális szám,

sin α

és

cos α

is racionális számok, amelyek kielégítik az

x^{2} + y^{2} = 1

egyenletet.
Lényegileg ezen képletek megegyeznek az

\begin{matrix} a = 2 m n, b = m^{2} - n^{2}, c = m^{2} + n^{2} \end{matrix}

összefüggésekkel, melyek pythagorasi számokat határoznak meg.