Kezdőlap


Feladat:	1415. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bluszt Ernő , Bulkay Lajos , Fehér György , Gáspár Rezső , Halász Iván , Hoffmann Tibor , Klein J. , Komlós János , Mandl Béla , Marosán Zoltán , Sándor Gyula , Schreiber Béla , Sebestyén Gyula
Füzet:	1938/május, 279 - 280. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Paraméteres egyenlőtlenségek, Egyenesek egyenlete, Mértani helyek, Parabola, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/március: 1415. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1405. feladatban (ezen évf. 8. sz) megállapítottuk, hogy az $y^{2} - 2 p x = 0$ parabola normálisának egyenlete, ha a normális irányhatározója $m$ ,

\begin{matrix} y - m x + p (m + \frac{m^{3}}{2}) = 0 ... \end{matrix}

(1)

alakban írható. Az

m

irányhatározójú (párhuzamos) parabola húrokat, ezen irányhoz konjugált átmérő felezi. Ennek egyenlete:

\begin{matrix} m y - p = 0 ... \end{matrix}

(2)

Az (1) és (2) egyenletek az

m

valamely értékénél meghatározzák az

m

irányhatározójú húr felezőpontját, ill. ennek koordinátáit, mint

m

függvényeit. Ha pedig a két egyenletből kiküszöböljük az

m

-et, a normális húr felező pontjának koordinátái között kapunk összefüggést; ez lesz a felezőpontok mértani helyének egyenlete. Az adott esetben (2)-ből

m = \frac{p}{y}

; ezt (1)-be helyettesítve és rendezve.

\begin{matrix} y^{4} - p (x - p) y^{2} + \frac{1}{2} p^{4} = 0 ... & (3) \\ vagy x - p = \frac{y^{2}}{p} + \frac{p^{4}}{2 y^{2}} ... & (4) \end{matrix}

A (3)-ból kitűnik, hogy a keresett mértani hely negyedrendű görbe, és ez szimmetrikus az

X

-tengelyre nézve.

y^{2}

-re valós értékeket kapunk (3)-szerint, ha

\begin{matrix} p^{2} {(x - p)}^{2} - 2 p^{4} ≧ 0, azaz ha x ≧ p (1 + \sqrt[]{2}) ... \end{matrix}

(5)

x

kielégíti az (5) feltételt, akkor (3)-ból

y^{2}

-re két pozitív értéket kapunk, tehát

y

-ra négy értéket, két pozitív és két negatív értéket; utóbbiak az előbbiekkel abszolút értékre egyenlők. (Szimmetria az

X

-tengelyre nézve!) A görbének két, az

X

-tengelyre szimmetrikus ága van!
Ha

x = p (1 + \sqrt[]{2})

, akkor

y^{2}

-re két egyenlő értéket kapunk, azaz az

x = p (1 + \sqrt[]{2})

egyenes a görbe mindkét ágát érinti; az érintési pontok ordinátaja:

\pm \frac{p}{\sqrt[4]{2}}

.
A (4) egyenletből pedig kitűnik, hagy a szóbanforgó görbe (ill. mindkét ága) aszimptotikusan közeledik az

X

-tengelyhez. (Ugyanis, ha

y \to \pm 0

, akkor

x \to + \infty

)
Ha pedig a görbének azon pontjait tekintjük, melynek ordinátái vég nélkül növekednek, akkor azt látjuk hogy ezek az

\begin{matrix} x - p = \frac{y^{2}}{p} vagy y^{2} = P (x - p) ... \end{matrix}

(6)

parabolához közelednek, úgy hogy ezen belül maradnak.

Fehér György és Sebestyén Gyula (Fazekas Mihály g. VIII. o. Debrecen)