Kezdőlap


Feladat:	1414. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bíró E. , Bulkay Lajos , Cseh Sándor , Egri György , Fehér György , Fekete András , Freud Géza , Gállik István , Gáspár Rezső , Gerő Béla , Getzler J. , Hajdu Á. , Hajnal Miklós , Halász Iván , Hoffmann Tibor , Hörcher J. , Kézdi Ferenc , Klein J. , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Mandl Béla , Nádler M. , Orlai J. , Radovics György , Sándor Gyula , Schläffer Ödön , Schreiber Béla , Sebestyén Gyula , Seidl Gábor , Szabó Béla , Szentmiklósi L. , Szerényi László , Szilágyi S. , Taksony György , Vásárhelyi S. , Weisz Alfréd
Füzet:	1938/május, 279. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt alakzatok, Merőleges affinitás, Ellipszis egyenlete, Terület, felszín, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/március: 1414. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ellipszis a főkörből ortogonális affin transzformációval keletkezik; a transzformáció karakterisztikája: $\frac{b}{a}$ ¹. A főkör területe: $a^{2} π$ , az ellipszisé: $a^{2} π \cdot \frac{b}{a} = a b π$ .
A főkörbe írjunk négyzetet, melynek oldalai az ellipszis főtengelyelvei párhuzamosak. A négyzet területe: $2 a^{2}$ . Ezen négyzet affin transzformációja az ellipszisbe írt legnagyobb területű téglalap² (melynek oldalai a főtengelyekkel párhuzamosak). Az affin transzformációnál a körbe irt négyzetnek az $X$ -tengellyel párhuzamos oldala ugyanakkora marad: $a \sqrt[]{2}$ ; a másik oldal azonban $\frac{b}{a} \cdot a \sqrt[]{2} = b \sqrt[]{2}$ . A téglalap területe $a \sqrt[]{2} \cdot b \sqrt[]{2} = 2 a b (= 2 a^{2} \cdot \frac{b}{a})$ .
Ezen téglalapba írt ellipszis nagytengelye: $a \sqrt[]{2}$ , kistengelye $b \sqrt[]{2}$ . Az ellipszis területe: $\frac{1}{2} a \sqrt[]{2} \cdot \frac{1}{2} b \sqrt[]{2} \cdot π = \frac{2 a b}{4} π = \frac{a b}{2} π$ . Ezen ellipszisbe írt legnagyobb területű téglalapé: $2 \cdot \frac{a \sqrt[]{2}}{2} \cdot \frac{b \sqrt[]{2}}{2} = a b$ .
Ebből már is láthatjuk, hogy a szóbanforgó ellipszisek területei oly végtelen mértani sort alkotnak, melynek első tagja $a b π$ , hányadosa $\frac{1}{2}$ . Összegük tehát $2 a b π$ .
Ugyanilyen sort alkotnak a legnagyobb területű téglalapok is; a sor első tagja: $2 a b$ , hányadosa $\frac{1}{2}$ . Összegük $4 a b$ .

¹L. XL évf. 141. o. (Kárteszi: Az ellipszis.) (1935 május, azaz 1935/5 141. old. ‐a szerk.)

²L. évfolyamunk 8. számában, 225-226. o. (1938/4 ‐ a szerk.)