Kezdőlap


Feladat:	1411. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bizám György , Egri Gy. , Gáspár Rezső , Hoffmann Tibor , Komlós János , Krisztonovich Jenő , Nagy Elemér , Sándor Gyula , Schreiber Béla , Taksony György , Vizi László
Füzet:	1938/május, 277 - 278. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összefüggések binomiális együtthatókra, Hatványösszeg, Maradékos osztás, kongruenciák, Binominális együtthatók prímtényezős felbontása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/március: 1411. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ} . {(\binom{p - 1}{k})}^{2} - 1 = [(\binom{p - 1}{k}) + 1] [(\binom{p - 1}{k}) - 1]$ .

Kimutatjuk, hogy a jobboldali tényezők egyike és így a szorzat is osztható $p$ -vel, ha $p$ törzsszám; még pedig ha $k$ páros, akkor $(\binom{p - 1}{k}) - 1$ , ha $k$ páratlan, akkor $(\binom{p - 1}{k}) + 1$ osztható $p$ -vel.

\begin{matrix} Nyilván & (\binom{p - 1}{k}) - 1 = 1 - 1 = 0, \\ (\binom{p - 1}{k}) + 1 = p - 1 + 1 = p . \\ (\binom{p - 1}{k}) 1 = \frac{p (p - 1) (p - 2)}{2} - 1 = \frac{p^{2} - 3 p + 2 - 2}{2} = \frac{p (p - 3)}{2} .^{^{1}} \end{matrix}

¹
Ezen esetekben tehát állításunk igaz. Tetszőleges

l

szám esetében

\begin{matrix} (\binom{p - 1}{l}) + (\binom{p - 1}{l + 1}) = (\binom{p}{l + 1}) = p \frac{(p - 1) (p - 2) ... (p - l)}{1 \cdot 2 \cdot 3 ... (l + 1)} = E, \end{matrix}

ahol

E

egész szám és kell, hogy osztható legyen

p

-vel, mert

p

1, 2, 3 ... (l + 1)

tényezők mindegyikéhez relatív prím.
Eszerint

(\binom{p - 1}{l}) + (\binom{p - 1}{l + 1})

összeg osztható

p

-vel

...

I.

Láttuk, hogy ha

l = 2, (\binom{p - 1}{2}) - 1 = m p

; tehát, ha

l = 3

, akkor I. miatt

(\binom{p - 1}{3}) + 1 = m' p

Ebből ismét következik, hogy

(\binom{p - 1}{4}) - 1 = m'' p

, s í. t.

2^{\circ}

. Az előbbiek szerint

\begin{matrix} (\binom{p - 1}{k}) = m p + 1, ha k \end{matrix}