Kezdőlap


Feladat:	1410. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Komlós János , Sándor Gyula , Weisz Alfréd
Füzet:	1938/május, 276. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Eltolás, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Térelemek és részeik, Térgeometriai bizonyítások, Gömb és részei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/február: 1410. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ . A $\sum$ sík az $e$ egyenest ez $A$ , az $e'$ egyenest az $A'$ , a $d$ egyenest az $a$ pontban metszi. Minthogy $e ⊥ \sum$ , az $e$ -n átfektetett $S ⊥ \sum$ ; feltételünk szerint pedig $S ⊥ S'$ . Ebből következik, hogy $\sum$ és $S'$ metszés vonala, t. i. $A' a ⊥ S$ és így $A' a ⊥ A a$ , azaz az $A a A' △$ az $α$ -nál derék szögű. Eszerint az $a$ pont mértani helye egy $C$ kör (a $\sum$ síkban), melynek átmérője $A A'$ ; középpontja az $A A'$ felezőpontja, $ω$ .

Hasonlóan, ha

\sum ⊥ e'

és az

e

e'

d

egyenesek a

\sum

síkon a

B b B' △

-et határozzák meg, akkor ez

b

-nél derékszögű és a

b

mértani helye a

\sum

síkon oly

C'

kör, melynek átmérője

B B'

és középpontja a

B B'

felezőpontja

ω'

!
Ezzel kapcsolatban igazoljuk előbb a

3^{\circ}

alattit. Tekintettel arra, hogy az

A A' B △

A

-nál, a

B B' A' △

B'

-nél derékszögű, az

A

A'

B

B'

pontok egy

Γ

gömbön feküsznek, melynek átmérője

A' B

és középpontja

O

. Minthogy

0 ω ∥ A B^{^{1}}

és

A B ⊥ \sum

, azért

0 ω ⊥ \sum

, azaz

O ω

C

kör középpontjában a

C

kör síkjára állított merőleges, tehát

O a = O A = O A'

. Ebből következik, hogy a

C

kör minden pontja a

Γ

gömbön fekszik.
Hasonlóan

O b = O B = O B' (= O A)

, tehát a

C'

kör is a

Γ

gömbön fekszik.

2 .^{\circ}

\sum ⊥ e

és

\sum

-t önmagával párhuzamosan mozgatjuk, lesz egy olyan helyzete, amelyben az

e

e'

egyenesekkel való metszéspontjai,

K

K'

, az

e

és

e'

egyenesek normáltranszverzálisát határozzák meg. Ezen

K K'

felezőpontja,

M

a keresett mértani hely egy pontja. (L.

1 .^{\circ}

alatt!) Állítsunk az

M

ponton keresztül egy

π

síkot, amely

K K'

-re merőleges. Ezen

π

sík az

e

e'

egyenesek mindegyikével párhuzamos, tehát a

π

síkban húzhatunk az

M

ponton át

f

egyenest, mely

e

-vel és

f'

egyenest, mely

e'

-vel párhuzamos.

f

\sum

síkot messe a

D

f'

D'

pontban. Minthogy

K K' ∥ \sum

és

f ∥ e

, azért

A D ∥ K K'

és mivel még

r' ∥ e'

A' D' ∥ K K'

, tehát

A D ∥ A' D'

, továbbá

A D = A' D' = \frac{1}{2} K K'

. Ezek szerint az

A D A' D'

idom parallelogramma, melynek átlói

A A'

és

D D'

felezik egymást az

ω

pontban. Más szóval

ω

π

szilárd síkban fekvő

M D D' Δ

D D'

alapjának felezőpontja. Ha már most

\sum

önmagával párhuzamosan mozog,

D

f

egyenesen,

D'

f'

-n,

ω

pedig azon szilárd

g

egyenesen, amely az

M D D' △

súlyvonalának tartója.
Hasonlóan

ω'

mértani helye egy

g'

egyenes, mely a

π

síkban fekszik és az

M

ponton megy keresztül.
¹

Komlós János (Gr. Széchenyi István gyakorló r. VIII. o., Pécs.)

O

A' B,

ω

A A'

felezőpontja!