Kezdőlap


Feladat:	1408. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Berger Tibor , Klein József , Komlós János , Méri B. , Nagy Elemér , Sándor Gyula , Sydó Sándor , Törley D.
Füzet:	1938/április, 246 - 247. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Paralelogrammák, Húrnégyszögek, Négyszögek középvonalai, Négyszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/február: 1408. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kör középpontja $O$ , a húrnégyszög csúcsai $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ , $A_{4}$ , az oldalakat felező pontok ábránk szerint $B_{1}$ , $B_{2}$ , $B_{3}$ , $B_{4}$ . Az egyik átló a kör átmérője, pl. $A_{2} A_{4}$ ; az állók metszéspontja $M$ , az $A_{2} A_{4}$ átmérőn fekszik. Az $A_{1} A_{3}$ felezőpontja legyen $K$ . Az oldalak felezőpontjai, mint ismeretes, egy parallelogramma csúcsai: tehát $B_{1} B_{3}$ és $B_{2} B_{4}$ felezik egymást az $I$ pontban.

Kimutatjuk már most, hogy

I

a négyszög két átlójának fetezőpontját összekötő távolságnak,

O K

-nak felezőpontja.
Ugyanis az

A_{1} A_{2}, A_{3} △

két oldalának

A_{1} A_{2}

-nek és

A_{1} A_{3}

-nak felezőpontjait összekötő

B_{1} K ∥ A_{2} A_{3}

és

B_{1} K = \frac{1}{2} A_{2} A_{3}

; továbbá az

A_{4} A_{2} A_{3} △

két oldalának,

A_{4} A_{2}

-nek és

A_{4} A_{3}

-nak felezőpontjait összekötő

O B_{3} ∥ A_{2} A_{3}

és

O B_{3} = \frac{1}{2} A_{2} A_{3}

. Eszerint

R_{1} K # O B_{3}

, tehát a

B_{1} K B_{3} O

idom parallelogramma, melynek

B_{1} B_{3}

átlója felezi az

O K

átlót, azaz

B_{1} B_{3}

keresztülmegy

O K

felezőpontján.
Hasonlóan a

B_{2} O B_{4} K

is parallelogramma, melynek

B_{2} B_{4}

átlója ugyancsak

O K

felezőpontján megy keresztül. Tehát

B_{1} B_{3}

és

B_{2} B_{4}

O K

távolság

I

felezőpontjában metszik egymást.
Tegyük fel, hogy az

M

szilárd pont. Akkor a

K

pont mértani helye az

O M

átmérőjű kör. Minthogy

O I = \frac{1}{2} O K

, az

I

pont mértani helye ugyancsak egy kör, melynek átmérője

\frac{1}{2} O M = O N

, ahol

N

O M

távolság felezőpontja. Ebből következik, hogy az

I

pontot nem vehetjük fel egészen tetszőlegesen, hogy a szerkesztés el legyen végezhető: az

I

pontnak az

O N

átmérőjű körön kell feküdnie.
Ha

I

megfelel az előbbi feltételnek, akkor az

O I

-ra

M

-ből merőlegest állítunk: ezen merőleges meghatározza a körön a négyszög két csúcsát, míg a másik két csúcs az

O M

állal meghatározott átmérő végpontjai.

Klein József (Izr. g. VII. o. Debrecen.)

Jegyzet: Ha az

I

pontot rögzítjük, az

O

körön belül, akkor az

M

pont mértani helye a kör azon húrja, amely

O I

-ra merőleges és

O

-tól való távolsága (

O I

irányban)

2 O I = O K

.
Tetszőleges négyszögre is áll, hogy

I

a négyszög két átlójának felezőpontját összekötő távolság felezőpontja, amint ez a bizonyításból kiderül. A bizonyításban semmit sem használhatunk fel abból, hogy a négyszög húrnégyszög.

Húrnégyszög esetén azonban az átlók

K

és

L

felezőpontjai mindenkor az

O M

átmérőjű körön feküsznek. Tehát kell, hogy

I

ezen körön belül feküdjék. Ha már most az

O

kör adva van, továbbá

M

, az

I

pedig úgy, hogy az

O M

átmérőjü körön belül van, és e kör középpontja

N

, akkor

N I

-re az

I

ponton át merőlegest emelünk, mely az

(N)

kört

K

és

L

pontokban metszi.

M K

és

M L

egyenesek egy húrnégyszög átlói lesznek. Ezen húrnégyszög megfelel azon követelményeknek, hogy

M

az átlók és

I

a szembenfekvő oldalak felezőpontjait összekötő egyenesek metszőpontja.
K ‐ g.