Kezdőlap


Feladat:	1406. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Berger Tibor , Biró I. , Bizám György , Csuri Vilmos , Demény J. , Egri György , Fonó Katalin , Forrai Éva , Freud Géza , Gáspár Rezső , Gerő B. , Grosz László , Hörcher J. , Jankovich I. , Komlós János , Mandl Béla , Méri B. , Nádor Gy. , Nagy Elemér , Radovics Gy. , Sándor Gyula , Schläffer Ödön , Seidl Gábor , Szerényi László , Szilágyi S. , Taksony György [0-0] , Törley D. , Varga Irén , Vásárhelyi Nagy Sándor
Füzet:	1938/április, 244. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Terület, felszín, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/február: 1406. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $M B C$ , $M C D$ , $M B D$ háromszögek területet jelölje rendre $t_{1}$ , $t_{2}$ , $t_{3}$ . Nyilván: $t_{1} = t_{2} + t_{3}$ .

Már most

\begin{matrix} t_{1} = \frac{M B \cdot M C \cdot sin \hat{B M C}}{2} = \frac{M B \cdot M C \cdot sin α}{2}, \end{matrix}

mert

\hat{B M C} = 180^{\circ} - α

\begin{matrix} t_{2} = \frac{M D \cdot M C \cdot sin \hat{C M D}}{2} = \frac{M D \cdot M C \cdot sin β}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} t_{3} = \frac{M D \cdot M B \cdot sin \hat{B M D}}{2} = \frac{M D \cdot M B \cdot sin γ}{2} . \end{matrix}

Az előbbiek szerint:

\begin{matrix} M B \cdot M C sin α = M D \cdot M C sin β + M D \cdot M B sin γ . \end{matrix}

Ha most minden tagot az

M B \cdot M C \cdot M D

szorzattal osztunk, keletkezik:

\begin{matrix} \frac{sin α}{M D} = \frac{sin β}{M B} + \frac{sin γ}{M C} . Q.e.d. \end{matrix}

Fonó Katalin (Szilágyi Erzsébet leányg., VII. o. Bp.)