|
Feladat: |
1405. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Berger Tibor , Bulkay Lajos , Egri György , Freud Géza , Grosz László , Hoffmann Tibor , Hörcher J. , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Mandl Béla , Nádor Gy. , Nagy Elemér , Sándor Gyula , Sauer Jenő , Schreiber Béla , Seidl Gábor , Taksony György [0-0] |
Füzet: |
1938/április,
242 - 244. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Függvénytranszformációk, Egyenesek egyenlete, Parabola egyenlete, Kúpszeletek érintői, Pont, Parabola, mint kúpszelet, Parabola, mint mértani hely, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1938/február: 1405. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az parabola pontjában húzott érintő irányhatározója: , tehát a normálisé: . Az ponthoz tartozó normális egyenlete: | | Legyen , tehát , azaz a normális egyenletébe az paraméter helyett vezessük be a normális irányhatározóját paraméterként. Így a normális egyenlete | |
Helyezzük a koordinátarendszer kezdőpontját a parabola gyújtópontjába, de a tengelyek iránya ugyanaz maradjon. Az új koordináták és ez eredetiek között | | transzformációs kapcsolatok állanak fenn és így az új koordinátarendszerben a normális egyenlete ill. a vesszős jelzést elhagyva, A gyújtóponton átmenő és a normálisra merőleges egyenes egyenlete: Az (1) és (2) egyenletekből álló rendszert megoldva, a két egyenes metszőpontjának koordinátáit kapjuk, mint függvényeit. Ha pedig az paramétert kiküszöböljük a két egyenletből, a metszéspont koordinátái között kapunk összefüggést, mely a keresett mértani hely egyenlete. (2)-ből . Ezt (1)-be helyettesítve: | | ill. | | (3) | A szóbanforgó mértani hely eszerint két részből áll: az egyik rész egyenletnek felel meg és ez nem más, mint maga a gyújtópont (ill. a gyújtóponton átmenő képzetes egyenespár). A másik rész az egyenletnek megfelelő parabola, melynek csúcspontja az eredeti parabola gyújtópontja és paramétere az eredeti paraboláénak negyedrésze. Krisztonosich Jenő (Szent László g. VIII. o. Bp. X.).
II. Megoldás. Az előbbi eredményt szintétikus geometriai eljárással világítjuk meg. Legyen az gyújtópont vetülete az normálison. Minthogy , az felezi -t. Ha felezőpontja , akkor és .
A parabola pontjaihoz tartozó ordináták felezőpontjai azonban ugyancsak parabolát írnak le, melynek csúcsa az adott paraboláéval közös és paramétere . Ha ezen parabolát főtengelyével párhuzamosan eltoljuk és az eltolás mértéke , akkor megkapjuk az pont mértani helyét, oly parabolát, melynek csúcsa , paramétere és tengelye az adott paraboláéval közös.
Sauer Jenő (Bencés g. VII. o. Győr.)
|
|