Feladat: 1404. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bálint Gy. ,  Bizám György ,  Donát G. ,  Egri György ,  Freud Géza ,  Halász Iván ,  Klein J. ,  Komlós János ,  Krisztonosich Jenő ,  Mandl Béla ,  Méri B. ,  Nagy Elemér ,  Sándor Gyula ,  Sauer Jenő ,  Schreiber Béla ,  Sydó Sándor ,  Törley D. 
Füzet: 1938/április, 242. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Ellipszis, mint mértani hely, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1938/február: 1404. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ellipszis mértani helye azon pontoknak, amelyekre nézve egy adott F ponttól és egy adott Δ egyenestől való távolságok viszonya az egységnél kisebb állandó szám.
F az ellipszis egyik gyújtópontja és Δ az ellipszisnek az F ponthoz tartozó vezérvonala (directrixe).
Az ellipszisnek van még egy gyújtópontja F', és ehhez tartozó vezérvonala Δ'.
A Δ és Δ' egyenesek merőlegesek az ellipszis FF' fokális tengelyére. Ezen tengelyen feküsznek az ellipszis csúcsai, t. i. nagy tengelyének végpontjai A és B, a Δ és Δ' egyenesek között.
Az FF' tengely és a Δ egyenes metszőpontja legyen O. A definíció szerint: AFAO=BFBO.

 
 

Ha már most AB=2a, F'F=2c, és a két vezérvonal egymástól való távolsága 2d, akkor
AF=a-c,AO=d-a,BF=a+c,BO=a+d,


és
a+ca+d=a-cd-a;innen2a2=2cd,
azaz
(2a)2=(2c)(2d).

Mandl Béla (Zrínyi Miklós g. VIII. o. Bp. VIII.)