|
Feladat: |
1402. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Berger Tibor , Bizám György , Bulkay Lajos , Csimadia P. , Csuri Vilmos , Dónáth G. , Egri György , Faludi J. , Fekete András , Fonó András , Fonó Péter , Freud Géza , Halász Iván , Haraszthy András , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Hörcher J. , ifj. Jankovich I. , ifj. Schütz B. , ifj. Seidl Gábor , Kaiser K. , Koch Gy. , Komlós János , Kovács E. , Kovács L. , Krisztonosich Jenő , Laub György , Mandl Béla , Mészáros György , Nádor Gy. , Pfeifer Béla , Sándor Gyula , Schreiber Béla , Sulner László , Sydó Sándor , Szerényi László , Szittyai Dezső , Taksony György [0-0] , Tóth M. , Trunkó Gy. |
Füzet: |
1938/április,
239 - 241. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökös függvények, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1938/február: 1402. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Egyenletünk aequivalens a következő egyenletrendszerrel: ill. | | (1) | ahol kiküszöbölésével: | | (2) | vagy | | (3) | ahol Meg kell oldanunk tehát a (3) egyenletet -ra nézve, a (4) feltételek tekintetbe vételével. I. Legyen . Ekkor, ha ki van elégítve, . Ha azonban , akkor a (3) egyenletnek mindig van két valós gyöke, ellenkező előjellel; ezek között a pozitív és így II. esetben (3)-ból: Minthogy III. . Most elegendő az feltételt kielégíteni, mert ekkor . Minthogy a (3) egyenletnek valós gyökei vannak, ellenkező előjellel, csak az egyik: a pozitív felelhet meg, ha -nél nagyobb. Az az oly másodfokú függvénye, mely a zérus helyek között negatív. A pozitív zérus hely nagyobb -nél, ha | |
Eszerint, ha kielégíti ezen feltételt, akkor | |
Összefoglalva: ha változik -től -ig, az egyenletnek egy megoldása van. Ha , akkor . Ha pedig , az egyenletnek nincs megoldása.
Freud Géza (Berzsenyi g. VI. o. Bp. V.) Jegyzet: Vizsgáljuk az függvény változását. Valós értékeket csak akkor kapunk, ha , azaz a függvény értelmezési tartománya -től -ig terjed. Ha , ; helyen ; ha , . A függvény az előbb kijelölt intervallumban folytonos és állandóan fogy, mert differenciálhányadosa | |
Ábrázoljuk a következő két parabolának az -tengely feletti részét: Az a) alatti csúcsa az (, ) pont, a b) alattié , . A két parabolaág az , pontban metszi egymást.
Ha az a) alatti parabola pontjaihoz tartozó ordinátákból kivonjuk a b) alatti parabola megfelelő pontjainak ordinátáit és ezen különbségeket az -tengelyre merőlegesen felmérjük (a megfelelő -helyen), az így nyert ordináták végpontjai az görbét adják. Ezen görbe pontjaihoz tartozó ordináták -től 0-ig, azután 0-tól -ig változnak. Ha az -tengellyel párhuzamos egyenest húzunk, akkor ezen egyenes a görbét egy- és csakis egy pontban metszi, hacsak , ill. . |
|