Feladat: 1399. matematika feladat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baán Sándor ,  Berger Tibor ,  Bizám György ,  Bozsik György ,  Bulkay Lajos ,  Csuri Vilmos ,  Dónáth G. ,  Egri J. ,  Fehér György ,  Fekete András ,  Fonó Katalin ,  Fonó Péter ,  Freud Géza ,  Gáspár R. ,  Getzler J. ,  Grosz L. ,  Halász Iván ,  Holló György ,  Hörcher J. ,  ifj. Jankovics I. ,  ifj. Seidl Gábor ,  Irányi L. ,  Klein József ,  Lipsitz Imre ,  Mandl Béla ,  Méri B. ,  Nagy Elemér ,  Névtelen ,  Radovics György ,  Sándor Gyula ,  Sauer Jenő ,  Schreiber Béla ,  Sebestyén Gyula ,  Sydó Sándor ,  Szerényi László ,  Sziklavári János ,  Szilágyi S. ,  Szlovák István ,  Taksony György ,  Törley D. ,  Vásárhelyi Nagy Sándor ,  Vízhányó F. ,  Weisz Alfréd 
Füzet: 1938/április, 237. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Diofantikus egyenletek, Prímtényezős felbontás, Tizes alapú számrendszer, Szorzat, hatvány számjegyei, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1938/február: 1399. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Legyen a keresett szám 2x, négyzete 4x2, úgy, hogy adataink szerint

4x2=10000a+1000b+100+a+b=1000(10a+b)+100+10a+b
tehát
4x2-100=1001(10a+b)...(1)

Minthogy 1001=7⋅11⋅13,
4(x2-25)=7⋅11⋅13(10a+b).

Eszerint kell, hogy 10a+b a 4 többszöröse legyen; írjunk helyébe 4y-t és mivel 10a+b<100, azért y<25. így keletkezik
(x+5)(x-5)=7⋅11⋅13y...(2)

Ezen egyenletet úgy értelmezhetjük, hogy a 7, 11, 13, y tényezők úgy csoportosítandók két részletszorzattá, hogy e két szorzat különbsége 10 legyen, amellett, hogy y<25. Ezt nem érhetjük el, ha a négy tényező közül egyet, ill. három tényezőt kapcsolunk össze.
Csakis úgy felelhetünk meg a követelménynek, ha két-két tényezőt kapcsolunk össze, azaz vizsgálnunk kell a
7⋅11és13y,7⋅13és11y,11⋅13és7y
kombinációk lehetőségét.
I. Ha az egyik részletszorzat 77, akkor a másik 67 vagy 87. Utóbbiak egyike sem többszöröse 13-nak. (13y.)
II. Ha az egyik részletszorzat 7⋅13=91, akkor a másik 81 vagy 101. Utóbbiak egyike sem többszöröse 11-nek (11y).
III. Ha az egyik részletszorzat 11⋅13=143, akkor a másik 133 vagy 153. Ezek közül csak 133 többszöröse 7-nek:
7y=133,y=19<25.
Eszerint csak egy megoldás van, még pedig:

x2-25=7⋅11⋅13⋅19=19019,x2=19044,x=1382x=276és4x2=2762=76176.


4x2 valóban ab1ab alakú szám!
 
Bizám György (Bolyai g. VI. o. Bp. V.)

 
II. Megoldás. Páros szám négyzetében az egyesek helyén 0, 4, 6 áll. Ha az adott esetben b=0, akkor kell, hogy a is zérus legyen; ekkor 00100=102.
Páros szám négyzete 4 többszöröse; kell tehát, hogy 10a+4 ill. 10+6 többszöröse legyen 4-nek és így a következő számok képzelhetők:
24124,44144,64164,84184,16116,36136,56156,76176,96196.
Ezek közül 44144, 36136, 96196 nem lehetnek négyzetszámok, mert 441, 361, 961 négyzetszámok. A többiek közül pedig 76176 négyzetszám.
 
Sziklavári János (Kegyesrendi g. V. o. Bp.)