Kezdőlap


Feladat:	1396. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bizám György , Fehér György , Freud Géza , Grosz L. , Komlós János , Lipsitz Imre , Nagy Elemér , Sándor Gyula , Schreiber Béla , Sebestyén Gyula
Füzet:	1938/március, 215 - 216. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szögfelező egyenes, Hozzáírt körök, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Háromszögek szerkesztése, Körérintési szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/január: 1396. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adatok közötti összefüggés vizsgálata céljából szerkesszük meg az $A B C △$ -höz hozzáírt $ϱ_{b}$ sugarú kört, melynek $I_{b}$ középpontja az $A$ és $C$ csúcsnál fekvő külső szögeket felező egyenesek metszéspontja. Az $(I_{b})$ kör érintési pontjai $a$ , $b$ , $c$ oldalakon rendre $K$ , $L$ , $M$ . Minthogy

\begin{matrix} B M + B K = B A + A M + B C + C K = B A + A L + B C + C L = B A + A C + B C = 2 s \end{matrix}

és

B M = B K

, tehát

B M = s

.
Így

\begin{matrix} A M = s - B A = s - c ... \end{matrix}

(1)

Szerkesszük meg a

ϱ_{c}

sugarú kört, melynek

I_{c}

középpontja az

A

és

B

csúcsoknál fekvő külső szögeket felező egyenesek metszéspontja és ezen kör érintési pontjai legyenek az

a

b

c

oldalakon rendre

K'

L'

M'

; akkor

A L' = s - b

.
Már most, ha

b > c

, akkor

| b - c | = b - c

és

\begin{matrix} s - b = s - c - (b - c), azaz A L' = A M - (b - c)^{1} ... \end{matrix}

(2)

¹
Ha pedig

c > b

, akkor

| b - c | = c - b

és

\begin{matrix} s - b = s - c + (c - b), azaz A L' = A M + (b - c)^{2} ... \end{matrix}

(3)

²
Ezek alapján a szerkesztés menete a következő:
Megrajzoljuk az

X X'

és

Y Y'

egyeneseket, melyek az

A

pontban metszik egymást úgy, hogy

\hat{X A Y} = α

, továbbá az

X' A Y

ill.

Y' A X

szögfelező egyenesét,

f

-et; ezen egyenesen feküsznek

I_{b}

és

I_{c}

. Ezután az

X X'

egyenessel (ha azt akarjuk, hogy ezen feküdjék a

B

csúcs) párhuzamost húzunk,

e

-t, tőle

ϱ_{b}

távolságban, a sík azon részében, amelyben az

A Y

szár fekszik. Az

e

és

f

egyenesek metszőpontja

I_{b}

. Vetítsük az

I_{b}

-t

A X'

-re; a vetületi pont

M

. Az

I_{b} M

sugárral megszerkesztjük a háromszöghöz hozzáírt kört. Ezután az

A Y'

szárra felmérjük az

A L'

távolságot (2) vagy (3) szerint. Az

L'

-ben

A Y'

-re állított merőleges az

f

egyenest az

O_{c}

pontban metszi; az

I_{c} L'

sugárral megszerkesztjük a háromszög második hozzáírt körét. (Az

(I_{b})

és

(I_{c})

körök az

\hat{X A Y} = α

szöget bezáró oldalakat kívülről érintik!)
Már most a

B C

oldal tartója az

(I_{b})

és

(I_{c})

körök közös külső érintője lesz. Ezen közös külső érintő az

\hat{X A Y}

szárait a keresett háromszög

B

és

C

csúcsaiban metszi.
A két körnek két közös külső érintője van; a második az

\hat{X' A Y'}

szárait metszi. Az így nyert háromszög az

A B C △

-gel szimmetrikus az

f \equiv I_{b} I_{c}

centrálisra nézve és így vele egybevágó.

A M = ϱ_{b} tg A I_{b} M = ϱ_{b} tg \frac{α}{2}

. Kell tehát, hogy

ϱ_{b} tg \frac{α}{2} > b - c

legyen.

²Ez mindig lehetséges.