Feladat: 1395. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bálint Gy. ,  Berger Tibor ,  Bluszt Ernő ,  Bulkay Lajos ,  Csuri Vilmos ,  Danciger E. ,  Donáth Géza ,  Etelaky L. ,  Gáspár Rezső ,  Grosz L. ,  Jani K. ,  Jankovich I. ,  Kelemen I. ,  Klein József ,  Lőke Péter ,  Mandl Béla ,  Marosán Zoltán ,  Mihalik I. ,  Nádor Gy. ,  Nagy Elemér ,  Radovics György ,  Rappaport S. ,  Sándor Gyula ,  Schreiber Béla ,  Szabó Béla ,  Székely Z. ,  Szentmiklósi L. ,  Szerényi László ,  Törley D. ,  Zsoldos E. 
Füzet: 1938/április, 236. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Terület, felszín, Paralelogrammák, Négyszögek geometriája, Koszinusztétel alkalmazása, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1938/január: 1395. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A négyszög oldalai legyenek a, b, c, d, átlói e és f és ezek szöge ω (ill. 180-ω). Húzzunk a négyszög csúcsain keresztül a megfelelő átlókkal párhuzamosakat; az így keletkező parallelogramma oldalai e és f, ezek szöge ω, területe efsinω. A négyszög területe ennek fele: t=12efsinω.

 
 

Az átlók szeletei legyenek ábránk szerint m és n, ill. p és q. A cosinustétel alkalmazásával:

a2=m2+p2-2mpcosωb2=n2+p2+2npcosωc2=n2+q2-2nqcosωd2=m2+q2+2mqcosω
Innen:
b2+d2-a2-c2=2(mp+np+nq+mq)cosω==2(m+p)(p+q)cosω=2efcosω.


Az ef szorzat értékét utóbbi egyenletből kifejezzük és t értékébe helyettesítjük. Így keletkezik:
t=14(b2+d2-a2-c2)tgω,
* ahol ω az átlóknak azon szögét jelenti, amely az a és c oldalakkal fekszik szemben.
 
Donáth Géza (Áll. Szent László g. VIII. o. Bp. X.)

 

Jegyzet: Ha ω=90, akkor b2+d2-(a2+c2)=0, ill. b2+d2=a2+c2. Ebben az esetben a t kifejezése nem ad határozott értéket. Képzeljünk egyszerűség kedvéért pl. egy rombust, megadott oldallal és a csúcsaiban csuklókkal ellátva. Az egyik oldalt rögzítjük, a többit forgatjuk; eközben az átlók mindig merőlegesek maradnak egymásra, a szembenfekvő oldalak négyzet összege mindig egyenlő egymással, azonban a területe változó. Jelölje a rombus oldalát a: területe 0 és a2 között változik.

*Ha ω a tompaszög, akkor a vele szembenfekvő oldalak négyzetösszege: a2+c2>b2+d2.