Kezdőlap


Feladat:	1393. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Berger Tibor , Sándor Gyula , Schreiber Béla , Weisz Alfréd
Füzet:	1938/március, 213. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték differenciálszámítással, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Sokszögek súlypontjának koordinátái, Síkbeli ponthalmazok távolsága, Húrsokszögek, Egyéb sokszögek geometriája, Síkidomok súlypontja, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/január: 1393. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tetszőleges derékszögű koordinátarendszerben az $A_{i}$ koordinátái $(x_{i}, y_{i})$ , $i = 1,2, ... n$ . Az $M$ pont koordinátái legyenek $(x, y)$ . Az $M$ pont azon tulajdonsággal bír, hogy reá nézve az

\begin{matrix} f (x, y) = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt[]{{(x_{i} - x)}^{2} + {(y_{i} - y)}^{2}} ... \end{matrix}

(1)

függvénynek minimuma van, tehát

x

és

y

kielégítik az

f'_{x} (x, y) = 0

és

f'_{y} (x, y) = 0

egyenleteket, azaz

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} \frac{x_{i} - x}{\sqrt[]{{(x_{i} - x)}^{2} + {(y_{i} - y)}^{2}}} = 0 ... és & (2) \\ \sum_{i = 1}^{n} \frac{y_{i} - y}{\sqrt[]{{(x_{i} - x)}^{2} + {(y_{i} - y)}^{2}}} = 0 ... & (3) \end{matrix}

A (2) baloldalán álló egy-egy tag jelenti azon

α_{i}

szög cosinusát, melyet

M A_{i}

X

tengellyel alkot, a (3) baloldala ugyanezen szög sinusát, tehát

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} cos α_{i} = 0 ... & (2a) \\ \sum_{i = 1}^{n} sin α_{i} = 0 ... & (3a) \end{matrix}

M A_{i}

egyenesen

M

-től

r

távolságban felvett

S_{i}

koordinátái legyenek

x'_{i},' y_{i}

; nyilván

\begin{matrix} x'_{i} = x + r cos α_{i}, y'_{i} = y + r sin α_{i} ... \end{matrix}

(4)

S_{i}

pontokban elhelyezett egyenlő tömegek súlypontjának koordinátái legyenek

ξ

η

. Ekkor

\begin{matrix} ξ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x'_{i} = \frac{1}{n} (n x + r \sum_{i = 1}^{n} cos α_{i}) = x, \end{matrix}

mert

\sum_{i = 1}^{n} cos α_{i} = 0

. Hasonlóan

\begin{matrix} η = \frac{1}{n} \sum y'_{i} = \frac{1}{n} (n y + r \sum_{i = 1}^{n} sin α_{i}) = y, \end{matrix}

mert

\sum_{i = 1}^{n} sin α_{i} = 0

. Eszerint az

S_{i}

pontokban elhelyezett egyenlő tömegek súlypontja valóban az

M (x, y)

pont!

Weisz Alfréd (Bolyai g. VIII. o., Bp. V.)

Jegyzet. Az

M

pont az

S_{i}

pontokat illetőleg is azon tulajdonsággal bír, hogy

\sum \bar{M S_{i}}

minimum; ugyanis

\begin{matrix} \frac{x'_{i} - x}{r} = cos α_{i} és így \sum_{i = 1}^{n} \frac{x'_{i} - x}{\sqrt[]{{(x'_{i} - x)}^{2} + {(y'_{i} - y)}^{2}}} = \sum_{i = 1}^{n} cos α_{i} = 0. \end{matrix}

Hasonlóan

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} \frac{y'_{i} - y}{\sqrt[]{{(x'_{i} - x)}^{2} + {(y'_{i} - y)}^{2}}} = \sum_{i = 1}^{n} sin α_{i} = 0, \end{matrix}

azaz: ha egy húrsokszög csúcsainak éppen a körülírt kör középpontjától számított távolság összege a minimális, akkor ez a pont egyszersmind a sokszög csúcsaiba helyezett egyenlő tömegeknek a súlypontja.