|
Feladat: |
1392. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Berger Tibor , Csuri Vilmos , Fehér György , Freud Géza , Gállik István , Gáspár Rezső , Halász Iván , Kieweg Ferenc , Mandl Béla , Nagy Elemér , Sándor Gyula , Schreiber Béla , Sebestyén Gyula , Székely Z. , Szentmiklósi L. , Szerényi László |
Füzet: |
1938/március,
211 - 212. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Elemi függvények differenciálhányadosai, Határozott integrál, Kör egyenlete, Kúpszeletek érintői, Terület, felszín, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1938/január: 1392. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha a kör , pontjaiban az érintők párhuzamosak, akkor a kör átmérője és felezőpontja, t. i. az origo a kör középpontja, melynek egyenlete: A kör keresztülmegy a ponton; tehát: Eszerint a szóbanforgó kör: A harmadfokú parabola egyenlete: Az inflexiós pont abscissája, amint az 1341. feladatban láttuk: . Most , tehát . Minthogy a görbe keresztülmegy az origón, a (2) egyenletet kielégíti és így . Eszerint a görbe egyenlete: | | (3) |
A görbe keresztülmegy a ponton, tehát | | (4) |
A görbének és a körnek közös érintőjük van az , pontokban. A kör érintőjének irányhatározója az pontban: , mert sugár iránytangense: . Ezért a (3) alatti , ha , vagyis (4) -ből és (5)-ből: , és így , úgy hogy görbével van dolgunk. Ezen görbének felső tetőpontja van az , alsó tetőpontja az helyen. Keressük már most az (1) kör és a (6) görbe közös pontjait. Meg kell oldanunk az (1) és (6) egyenletekből álló rendszert. Ebből -t kiküszöböljük, ha a (6) alatti kifejezését (1)-be helyettesítjük: | | (7) |
Ezen egyenletnek és kétszeres gyökei ‐ az érintkezés miatt ‐ tehát kell, hogy az egyenlet baloldala osztható legyen szorzattal. Valóban | |
A parabola és a kör metszéspontjai az egyenlet gyökeihez tartoznak: , . Ezen pontok az abscissa-tengelyen feküsznek.
A két görbe által határolt terület nagyságát, és határok között a szimmetriából kifolyólag úgy kaphatjuk meg, hogy a kör területeiből kivonjuk a két görbének és közötti íveik által bezárt sarló alakú idom területének kétszeresét és az így nyert különbség fele adja meg a keresett terület nagyságát. Már most az húr a körben oly szeletet ‐ ‐ határoz meg, mely egy -ú körcikkből van lehasítva. A körcikk területe: . Az területe: . Így a körszelet területe: és ennek fele, az vegyesvonalú idomé ( a kör íve): . Ebből ki kell vonnunk az , és a parabola íve által határolt területet; minthogy és , | | A sarló alakú idom területe: A keresett terület: Kieweg Ferenc (Kegyesrendi g. VIII. o., Bp.) |
|