|
Feladat: |
1391. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Berger Tibor , Csuri Vilmos , Fehér György , Gállik István , Gáspár Rezső , Halász Iván , Hörcher J. , Jankovich István , Kádár Géza , Kieweg Ferenc , Komlós János , Mandl Béla , Nagy Elemér , Sándor Gyula , Schreiber Béla , Sebestyén Gyula , Seidl Géza , Székely Z. , Szentmiklósi L. , Szerényi László |
Füzet: |
1938/március,
209 - 211. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Elemi függvények differenciálhányadosai, Magasabbrendű deriváltak, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Kör egyenlete, Kúpszeletek érintői, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1938/január: 1391. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az koordinátái kielégítik a kör egyenletét. Ha , akkor | |
Hasonlóan a pontra nézve, ha , | | Eszerint az koordinátái ; a ponté . A keresett harmadfokú parabola egyenlete: Itt az , , , együtthatók ismeretlenek, ezeket kell a feltételek alapján meghatároznunk; tehát 4 egyenletre van szükségünk. A parabola keresztülmegy az és pontokon; ezek tehát kielégítik a parabola egyenletét, azaz:
A parabolának és a körnek -ban közös érintője van. A kör középpontjának koordinátái: , azaz abscissája megegyezik abscissájával; ebből következik, hogy a kör érintője -ban párhuzamos az -tengellyel, irányhatározója . A kör sugara . A parabola irányhatározója: . Ha már most , akkor , azaz A (2) egyenlet tagjaiból kivonva a (2) és (3) megfelelő tagjait, keletkezik: | | (3a) |
Már most határozzuk meg a parabola inflexiós érintőjét. Az inflexiós pontra nézve és így | |
Helyettesítve ide és (3a) alatti értékeit:
Az egyenes irányhatározója: . Az inflexiós érintő -hez való hajlásszögének tangense:
Eszerint -ra két értéket kapunk: I. Ha , akkor , és pl. (1)-ből . Az egyik parabola eszerint . Most . Az inflexiós pont az origo. A függvény ábrázolása a köv. táblázat alapján végezhető:
II. a2=16 mellett b2=-60, c2=72, d2=-30. Így y=16x3-60x2+72x-30y'=48x2-120x+72,y''=96x-120.
A függvény ábrázolását a köv. táblázat segítségével végezhetjük:
x-∞011,251,52...+∞y-∞↗-30↗-2↘-2,5↘-3 ↗2↗+∞max.infl.min.y'++++0---0++++ A függvénynek csak egy zérus helye van: 1,5 és 2 között.
Kádár Géza (Dobó István g. VIII. o., Eger) |
|