Feladat: 1391. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Berger Tibor ,  Csuri Vilmos ,  Fehér György ,  Gállik István ,  Gáspár Rezső ,  Halász Iván ,  Hörcher J. ,  Jankovich István ,  Kádár Géza ,  Kieweg Ferenc ,  Komlós János ,  Mandl Béla ,  Nagy Elemér ,  Sándor Gyula ,  Schreiber Béla ,  Sebestyén Gyula ,  Seidl Géza ,  Székely Z. ,  Szentmiklósi L. ,  Szerényi László 
Füzet: 1938/március, 209 - 211. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elemi függvények differenciálhányadosai, Magasabbrendű deriváltak, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Kör egyenlete, Kúpszeletek érintői, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1938/január: 1391. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az A koordinátái kielégítik a kör egyenletét. Ha x=1, akkor

4y2-y-18=0;inneny=1±178.Mively<0,y=-2.

Hasonlóan a B pontra nézve, ha x=2,
4y2-y-14=0;  innen  y=1±158.Mively>0,y=+2.
Eszerint az A koordinátái (1,-2); a B ponté (2,2).
A keresett harmadfokú parabola egyenlete:
y=ax3+bx2+cx+d...

Itt az a, b, c, d együtthatók ismeretlenek, ezeket kell a feltételek alapján meghatároznunk; tehát 4 egyenletre van szükségünk. A parabola keresztülmegy az A(1,-2) és B(2,2) pontokon; ezek tehát kielégítik a parabola egyenletét, azaz:
-2=a+b+c+d...(1)+2=8a+4b+2c+d...(2)

A parabolának és a körnek A-ban közös érintője van. A kör O1 középpontjának koordinátái: 1,18, azaz A abscissája megegyezik O1 abscissájával; ebből következik, hogy a kör érintője A-ban párhuzamos az X-tengellyel, irányhatározója =0. A kör sugara 218.
A parabola irányhatározója: y'=3ax2+2bx+c.
Ha már most x=1, akkor y'=0, azaz
3a+2b+c=0...(3)

A (2) egyenlet tagjaiból kivonva a (2) és (3) megfelelő tagjait, keletkezik:
4a+b=4,b=4(1-a)  és így  c=5a-8...(3a)

Már most határozzuk meg a parabola inflexiós érintőjét. Az inflexiós pontra nézve
y''=6ax+2b=0,xi=-b3a
és így
y'i=3a(-b3a)2+2b(-b3a)+c=b23a-b23a+c=c-b23a.

Helyettesítve ide b és c (3a) alatti értékeit:
y'i=5a-8-(4-4a)23a=15a2-24a-16+32a-16a23a=-a2+8a-163ay'i=-(a-4)23a...(3b)



Az AB egyenes irányhatározója: 2+21=4.
Az inflexiós érintő AB-hez való hajlásszögének tangense:
y'i-41+4y'i=711  és innen  y'i=-3,tehát-(a-4)23a=-3,(a-4)2=9a,a2-17a+16=0...(4)


Eszerint a-ra két értéket kapunk:
a1=1,a2=16.

I. Ha a1=1, akkor b1=0, c1=-3 és pl. (1)-ből d1=0.
Az egyik parabola eszerint y=x3-3x.
Most y'=3x2-3ésy''=6x.
Az inflexiós pont az origo.
A függvény ábrázolása a köv. táblázat alapján végezhető:
 


x-...-3-10+132...+y-020-2   02+max.infl.min.y'++++0---0++++++
 

 

II. a2=16 mellett b2=-60, c2=72, d2=-30. Így
y=16x3-60x2+72x-30y'=48x2-120x+72,y''=96x-120.



A függvény ábrázolását a köv. táblázat segítségével végezhetjük:
 


x-011,251,52...+y--30-2-2,5-3   2+max.infl.min.y'++++0---0++++
 

 

A függvénynek csak egy zérus helye van: 1,5 és 2 között.
 
 Kádár Géza (Dobó István g. VIII. o., Eger)