Feladat: 1390. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balogh G. ,  Berger Tibor ,  Bulkay L. ,  Csuri Vilmos ,  Egri György ,  Fehér György ,  Fonó Péter ,  Freud Géza ,  Gáspár Rezső ,  Gerő B. ,  Grosz L. ,  Grünfeld Sándor ,  Hajnal Miklós ,  Halász Iván ,  Hoffmann Tibor ,  Hörcher J. ,  Juhász Kató ,  Kieweg Ferenc ,  Klein József ,  Komlós János ,  Koren Pál ,  Krisztonosich Jenő ,  Mandl Béla ,  Margulit György ,  Nagy Elemér ,  Névtelen ,  Sándor Gyula ,  Schläffer B. ,  Schreiber Béla ,  Sebestyén Gyula ,  Seidl Gábor ,  Székely Z. ,  Szél Gy. ,  Szerényi László ,  Szilágyi S. ,  Szlovák István ,  Törley D. ,  Vásárhelyi Nagy Sándor 
Füzet: 1938/március, 207 - 209. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökös függvények, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Magasságvonal, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1938/január: 1390. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

10. A körből kimetszett húr fele, 12MN mértani középarányosa a reá merőleges átmérő két szeletének. Az egyenlőszárú háromszögben AKL△∼ABC. Így a következőket írhatjuk:

MN24=d(2R-d)...  és  (1)KL:BC=(2R-d):AH...(2)


Minthogy BC=AH, (2)-ből KL=2R-d.
 
 

A feladat követelménye pedig: KL=MN tehát
(2R-d)2=4d(2R-d)...(3)
Ezen egyenlet egyik megoldása 2R-d=0, vagyis d=2R; ekkor KL=MN=0. Ha pedig d≠2R, akkor
2R-d=4d  ill.  d=2R5.

20. A változó d jele legyen x. Ennek függvénye y=KL-MN, tehát, 2R=1 tekintetbevételével
y=1-x-2x(1-x)...(4)
x=0 mellett y=1. (Ekkor KL=BC=1, és MN=0).
x=1 helyen, amint 10. alatt láttuk: y=0. Továbbá y=0, ha x=15.
Az y függvény értelmezési tartománya, a négyzetgyök valós értékére való tekintettel: 0 és 1 között van, azaz 0≦x≦1. Ezen közben y az x-nek folytonos és mivel a négyzetgyöknek csak pozitív értékét vesszük, egyértékű függvénye. Hogy változását vizsgáljuk, képezzük y differenciálhányadosát:
y'=-1-1-2xx(1-x)...(5)
Ha x=0, y'=-∞. Ha x növekedik, y'<0 mindaddig, amíg
1-2xx(1-x)=-1...(6)
lesz. Ezután y'>0 és x=1 helyen +∞. Ebből következik, hogy a (6) egyenlet által meghatározott x helyen a függvénynek minimuma van. Minthogy a (6) egyenlet baloldalán a nevező pozitív, a tört előjele a számlálóéval egyezik meg, azaz 1-2x negatív, az egyenlet gyöke pedig: x>12 legyen.
Négyzetre emelve (6) mindkét oldalán:
(1-2x)2x-x2=1,
és rendezés után
5x2-5x+1=0...(7)
Innen
x1=5-510,x2=5+510.
Ezek közül csak x2=5+510>12, tehát az y függvénynek minimuma van az x2∼0,72 helyen.

 
 

A függvény változásának ábrázolására szolgáljon a következő táblázat:
 


x00,10,20,30,40,50,60,720,80,91y1↘0,30-0,22-0,38-0,5-0,58↘-0,62↗-0,60,5↗0miny'-∞--------0+++++∞
 

 Komlós János (Gr. Széchenyi István gy. r. VIII. o., Pécs)
 
Kiegészítés. A függvényt ábrázoló görbe egy ellipszisnek a fele, amelynek AB az átmérője; t. i. A és B párhuzamos érintők érintési pontjai.
Ha a kör ST átmérőjének S végpontjából az ABC△ AB és AC oldalával párhuzamosakat húzunk, akkor ezek meghatározzák a körön az M és N pontokat úgy, hogy MN=KL lesz.