Feladat: 1385. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bluszt Ernő ,  Csáky Gyula ,  Gáspár Rezső ,  Grünfeld Sándor ,  Holzer Pál ,  Komlós János ,  Mandl Béla ,  Marosán Zoltán ,  Sándor Gyula ,  Weisz Alfréd 
Füzet: 1938/február, 179 - 180. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Analógia, mint megoldási módszer, Fizikai jellegű feladatok, Euler-egyenes, Magasságpont, Körülírt kör középpontja, Síkidomok súlypontja, Tetraéder magasságpontja, Súlypont (tömegközéppont) meghatározása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1937/december: 1385. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

10. Tudvalevő, hogy a háromszög S súlypontja, körül írt körének O középpontja és magassági pontja M, egy egyenesen, az u. n. Euler-egyenesen feküsznek, még pedig S az O és M között úgy, hogy OM=3OS.
Ha a háromszög mindegyik csúcsába +1 tömeget helyezünk, akkor ezek súlypontja az S-ben van; S ekkor 3 súlyegységet képvisel. Hogy M-be -1 tömeget helyezünk, azt jelenti, hogy M-ben súlyegységnyi erő hat, amely azonban az OM egyenest az O körül ellenkező értelemben forgatja, mint az S-ben ható 3 súlyegység. Az egyensúly feltétele, hogy a forgató nyomatékok algebrai összege zérus legyen, azaz

3OS-1OM=0,tehát3OS=OM
legyen. Ez azonban, mint előbb láttuk, csakugyan igaz!
20. A tetraédernél, amint ezt kimutattuk, a körülírt gömb középpontja O, súlypontja S és magassági pontja M, egy egyenesen feküsznek, még pedig S az OM távolság felezőpontja. *. Ha a tetraéder mindegyik csúcsába +1 és az M pontba -2 tömegegységet helyezünk, akkor az így nyert tömegrendszer súlypontja a körülírt gömb középpontja.
Ebben az esetben ugyanis a tetraéder S súlypontjában +4 tömegegység, M pontban -2 tömegegység ellenkező értelemben forgatják O körül az OM egyenest, tehát az egyensúly feltétele:
4OS-2OM=0,azaz2OS=OM.

Ez azonban igaz!
Komlós János (gyakorló g. VIII. o. Pécs).

*L. ezen évfolyam 2. számában a 35. oldalon, továbbá II. évf. 206. o. a 115. feladatot!