Feladat: 1383. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bálint Gy. ,  Berger Tibor ,  Bluszt Ernő ,  Bulkay Lajos ,  Csáky Gyula ,  Cseh Sándor ,  Csuri Vilmos ,  Donáth Géza ,  Egri György ,  Gállik István ,  Gáspár Rezső ,  Gerő Béla ,  Grünfeld Sándor ,  Halász Iván ,  Holzer Pál ,  Hörcher János ,  Jani K. ,  Jankovich I. ,  Kelemen I. ,  Kemény György ,  Klein József ,  Komlós János ,  Krisztonosich Jenő ,  Lipsitz Imre ,  Lőke Péter ,  Mandl Béla ,  Marosán Zoltán ,  Méri B. ,  Nagy Elemér ,  Pálfay Ferenc ,  Radovics György ,  Rigó M. Béla ,  Sándor Gyula ,  Sauer Jenő ,  Schläffer Ödön ,  Seidl Gábor ,  Somogyi Antal ,  Székely Z. ,  Szerényi László ,  Tasnádi F. ,  Zsoldos Elek 
Füzet: 1938/február, 178. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Szögfelező egyenes, Beírt kör középpontja, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1937/december: 1383. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A belső háromszög csúcsai legyenek A', B', C'. Minthogy A' az AB és AC oldalaktól egyenlő távolságban van, az α szöget felező egyenesen fekszik; ezen egyenes felett az α' szöget is. Hasonlóan B' a β, C' a γ szöget felező egyenesen fekszik és ezen egyenesen fekszik és ezen egyenesek felezik a β' ill. γ' szöget. Ebből következik, hogy a beírt kör középpontja, I, mindkét háromszögre nézve közös és a két hasonló háromszög az I pontra nézve hasonló helyzetű is, tehát területük aránya megegyezik a megfelelő oldalak négyzeteinek, ill. a beírt körök sugarainak négyzetes arányával.

 
 

Ha az ABC△ területe t, az A'B'C'△-é t', az előbbire nézve a beírt kör sugara ϱ, az utóbbira nézve ϱ'=ϱ-d, akkor
t':t=(ϱ-d)2:ϱ2vagyt':t=(1-dϱ)2:1.

Minthogy
ϱ=2ta+b+c=2t2s=tst'=t(1-dst)2=(t-ds)2t
ahol t=s(s-a)(s-b)(s-c).
 

Gáspár Rezső (Kossuth Lajos g. VIII. o. Pestszenterzsébet).