Kezdőlap


Feladat:	1382. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bálint Gy. , Batkay I. , Berger Tibor , Bizám György , Bleyer gy. , Bulkay Lajos , Büchler Magda , Csáky Gyula , Cseresznyés Zoltán , Csuri Vilmos , Demény Jolán , Donáth Géza , Egri György , Fehér György , Fonó Péter , Freud Géza , Gállik István , Gáspár F. , Grünfeld Sándor , Hajnal Miklós , Halász Iván , Hibbey Levente , Hoffmann Tibor , Holzer Pál , Hörcher János , ifj. Jankovich I. , ifj. Seidl Gábor , Jani K. , Kádár Géza , Katter H. , Kelemen I. , Kemény György , Klein József , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Lipsitz Imre , Lőke Péter , Mandl Béla , Margulit György , Marosán Zoltán , Mató J. , Méri B. , Nagy Elemér , Németh B. , Petrovics J. , Radovics György , Rappaport Sándor , Rigó M. Béla , Sándor Gyula , Sauer Jenő , Schläffer Ödön , Schreiber Béla , Sebestyén Gyula , Somogyi Antal , Székely Z. , Szerényi László , Szilágyi S. , Tasnádi F. , Törös Anna , Varga Irén , Vásárhelyi Nagy Sándor , Vejtey M. , Zsoldos Elek
Füzet:	1938/február, 177 - 178. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/december: 1382. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás.

\begin{matrix} 1 - sin \frac{α}{2} = 1 - cos (90^{\circ} - \frac{α}{2}) = 2 sin^{2} (45^{\circ} - \frac{α}{4}) = \\ = 2 {(sin 45^{\circ} cos \frac{α}{4} - cos 45^{\circ} sin \frac{α}{4})}^{2} = 2 {(\frac{\sqrt[]{2}}{2})}^{2} {(cos \frac{α}{4} - sin \frac{α}{4})}^{2} = \\ = {(\frac{α}{4} - sin \frac{α}{4})}^{2} . \end{matrix}

Továbbá

cos \frac{α}{2} = cos^{2} \frac{α}{4} - sin^{2} \frac{α}{4}

.
Ezek alapján

\begin{matrix} \frac{1 - sin \frac{α}{2}}{cos \frac{α}{2}} = \frac{{(cos \frac{α}{4} - sin \frac{α}{4})}^{2}}{cos^{2} \frac{α}{4} - sin^{2} \frac{α}{4}} = \frac{cos \frac{α}{4} - sin \frac{α}{4}}{cos \frac{α}{4} + sin \frac{α}{4}} = \\ = \frac{1 - tg \frac{α}{4}}{1 + tg \frac{α}{4}} = tg (45^{\circ} - \frac{α}{4}) = cotg (45^{\circ} + \frac{α}{4}) . \end{matrix}

Bizám György (Bolyai g. VI. o. Bp. V.).

II. Megoldás

\begin{matrix} \frac{1 - sin \frac{α}{2}}{cos \frac{α}{2}} = \frac{1 - sin \frac{α}{2}}{\sqrt[]{1 - sin^{2} \frac{α}{2}}} = \sqrt[]{\frac{1 - sin \frac{α}{2}}{1 + sin \frac{α}{2}}} = \\ = \sqrt[]{\frac{1 - cos (90^{\circ} - \frac{α}{2})}{1 + cos (90^{\circ} - \frac{α}{2})}} = \sqrt[]{\frac{2 sin^{2} (45^{\circ} - \frac{α}{4})}{2 cos^{2} (45^{\circ} - \frac{α}{4})}} = tg (45^{\circ} - \frac{α}{4}) . \end{matrix}

Hibbey Levente (Fáy András g. VII. o. Bp. IX.).