Kezdőlap


Feladat:	1380. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Berger Tibor , Bluszt Ernő , Cseh Sándor , Cseresnyés Zoltán , Csuri Vilmos , Czipott Zoltán , Egri György , Fehér György , Gállik István , Gáspár Rezső , Halász Iván , Hibbey Levente , Hoffmann Tibor , Holzer Pál , Jankovich I. , Katter H. , Kieweg Ferenc , Komlós János , Mandl Béla , Marosán Zoltán , Nagy Elemér , Radovics György , Sándor Gyula , Sebestyén Gyula , Seidl Gábor , Somogyi Antal , Szerényi László , Vajkóczi I.
Füzet:	1938/február, 175 - 176. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletek, Háromszögek egybevágósága, Magasabbrendű deriváltak, Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Harmadfokú függvények, Egyenesek egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/december: 1380. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk első sorban a görbe alakját. $y = - \frac{1}{3} x^{3} + 3 x$ első differenciálhányadosa: $y' = - x^{2} + 3$ , a második $y'' = - 2 x$ . A görbének az $x = 0$ , $y = 0$ helyen inflexiós pontja van. A görbe az inflexiós pontjára, ill az origóra nézve szimmetrikus. Ha $x = - \infty$ , $y = + \infty$ ; ha $x = + \infty$ , $y = - \infty$ . A függvény $+ \infty$ -től csökken egy minimumig $(x = - \sqrt[]{3}$ helyen), azután növekszik, az inflexiós ponton keresztül $x = + \sqrt[]{3}$ helyig; itt maximuma van. Ezután csökken $- \infty$ -ig. Az $x = 0$ helyen az érintő iránytangense: $y'_{x = 0} = 3$ .

Az inflexiós ponton, tehát az origón átmenő egyenes egyenlete

y = m x

. Ez a görbét ‐ az inflexiós ponton kívül ‐ még oly pontokban metszi, amelyekre nézve

\begin{matrix} m x = - \frac{1}{3} x^{3} + 3 x vagy x^{3} + (3 m - 9) x = 0. \end{matrix}

Ezen egyenletet kielégítik

x_{1} = 0

^{$^{*}$} és az

\begin{matrix} x^{2} + (3 m - 9) = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökei:

x_{2,3} = \pm \sqrt[]{9 - 3 m}

.
Ezen két gyök az origóra nézve szimmetrikus pontokat határoz meg a görbén; feladatunk szempontjából elegendő, ha csak az egyikre ‐ a pozitívra ‐ vagyunk figyelemmel. Ugyanis e két ponthoz tartozó derékszögű háromszögek egybevágók.
Az

x_{2} = \sqrt[]{9 - 3 m}

abscissához tartozó pont ordinátája:

y_{2} = m \sqrt[]{9 - 3 m}

. A szóbanforgó két derékszögű háromszög területének összege:

T = 2 \frac{x_{2} y_{2}}{2} = m (9 - 3 m)

.
Nyilvánvaló, hogy itt

m

-nek csak nem negatív értékei jöhetnek tekintetbe, mindaddig, amíg

\sqrt[]{9 - 3 m}

valós, azaz

0 < m < 3

. Az

m = 3

érték az inflexiós pontban húzott érintő irányhatározója: ez azon határ, ameddig az origo körül forgatva az egyenest (az

m = 0

helyzetből kiindulva), az egyenesnek és a görbének van még közös pontja (az origón kívül).

T

m

-nek oly másodfokú függvénye, mely a megadott intervallumban

0

-tól növekszik egy maximumig, azután csökken zérusig.

T

maximuma akkor áll elő, ha

m = \frac{9}{6} = 1, 5

. Ekkor

T_{max} = 6, 75

. Az

m = 1, 5

értékhez

x = \sqrt[]{9 - 4, 5} =

= 1, 5 \sqrt[]{2}

abscissa tartozik. (A görbének azon pontja, melyre nézve

x = 1, 5 \sqrt[]{2}

y = 2, 25 \sqrt[]{2}

Czipott Zoltán (Kegyesrendi g. VII. o. Szeged.)

^{$^{*}$}Vagyis az inflexiós pont.