Kezdőlap


Feladat:	1379. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Berger Tibor , Bluszt Ernő , Egri György , Fehér György , Gállik István , Gáspár Rezső , Hoffmann Tibor , Jankovich I. , Katter H. , Komlós János , Mandl Béla , Marosán Zoltán , Nagy Elemér , Radovics György , Rappaport Sándor , Sándor Gyula , Sebestyén Gyula , Seidl Gábor , Somogyi Antal , Szerényi László
Füzet:	1938/február, 174 - 175. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elemi függvények differenciálhányadosai, Paraméteres egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletek, Egyenesek egyenlete, Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/december: 1379. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ . Az $A$ pont abscissája legyen $p$ ; ordinátája $a p^{3}$ . Az $A$ pontban húzott érintő iránytangensét megadja $y' = \frac{d y}{d x}$ értéke az $x = p$ helyen. Minthogy $y' = 3 a x^{2}$ , ennek értéke az $A$ pontban $3 a p^{2}$ . Az $A$ pontban húzott érintő egyenlete:

\begin{matrix} y - a p^{3} = 3 a p^{2} (x - p) ill. 3 a p^{2} x - y - 2 a p^{3} = 0. \end{matrix}

(E)

Ezen érintőnek az

Y

tengellyel való metszéspontjára nézve

x = 0

. Tehát

B

ordinátája:

- 2 a p^{3}

. Már most az

A (p

a p^{3})

és

B (O

- 2 a p^{3})

pontok távolságát felező

F_{1}

pont koordinátái:

\begin{matrix} x_{1} = \frac{p}{2}, y_{1} = \frac{a p^{3} - 2 a p^{3}}{2} = - \frac{a p^{3}}{2} . \end{matrix}

E két egyenletből

p

-t kiküszöbölve (

p = 2 x

helyettesítéssel), az indexet elhagyjuk és így megkapjuk az

A B

távolság felezőpontja által leírt görbe egyenletét:

\begin{matrix} y = - 4 a x^{3} . \end{matrix}

2^{0}

. Keressük már most az

E

egyenesnek a görbével való metszéspontjának koordinátáit. Meg kell oldanunk ezért az

\begin{matrix} y = a x^{3} és 3 a p^{2} x - y - 2 a p^{3} = 0 \end{matrix}

egyenletrendszert. E két egyenletből

y

-t kiküszöböljük; keletkezik:

\begin{matrix} a x^{3} - 3 a p^{2} x + 2 a p^{3} & = 0 \\ vagy x^{3} - 3 p^{2} x + 2 p^{3} & = 0. \end{matrix}

Ezen egyenletnek

p

kétszeres gyöke, azaz a baloldalnak oszthatónak kell lennie

{(x - p)}^{2}

-vel. Valóban

\begin{matrix} (x^{3} - 3 p^{2} x + 2 p^{3}) = {(x - p)}^{2} (x + 2 p) . \end{matrix}

Tehát az

E

érintőnek és a görbének

C

metszéspontjára nézve:

x_{3} + 2 p = 0

x_{3} = - 2 p

; ordinátája:

y_{3} = a {(- 2 p)}^{3} = - 8 a p^{3}

. A

B (0

- 2 a p^{3})

és a

C (- 2 p

- 8 a p^{3})

pontok távolságát felező

F_{2}

pontra nézve

\begin{matrix} x' = - p, y' = \frac{- 2 a p^{3} - 8 a p^{3}}{2} = - 5 a p^{3} . \end{matrix}

E két egyenletből

p

-t kiküszöbölve, a

B C

távolságot felezö pont koordinátái közötti összefüggés ez lesz:

\begin{matrix} y = 5 a x^{3} . \end{matrix}

Fehér György (Fazekas Mihály g. VIII. o. Debrecen).

^*Ha az

y = a x^{3}

görbének az

X

-tengelyre vonatkoztatott szimmetrikus képét megszerkesztjük és azután minden pont ordinátáját

4

-szeresére nagyítjuk, keletkezik az

y = - 4 a x^{3}

görbe.

^*Ha az $y = a x^{3}$ görbe minden pontjának ordinátáját $5$ -szörösére növeljük, keletkezik az $y = 5 a x^{3}$ görbe