Kezdőlap


Feladat:	1376. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Berger Tibor , Egri György , Hoffmann Tibor , Krisztonosich Jenő , Mandl Béla , Nagy Elemér , Sándor Gyula , Schreiber Béla , Somogyi Á. , Tasnádi F.
Füzet:	1938/február, 172. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elemi függvények differenciálhányadosai, Magasabb fokú egyenlőtlenségek, Paraméteres egyenlőtlenségek, Valós együtthatós polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/december: 1376. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy $a_{i} \geq 0$ , $f (x)$ a $[- 1$ , $+ 1]$ intervallumban $x = 1$ helyen veszi fel az abszolut maximumát, még pedig

\begin{matrix} f (1) = a_{0} + a_{1} + ... + a_{n} . \end{matrix}

Minthogy kikötöttük, hogy

| f (x) | \leq 1

legyen a jelzett intervallumban,

\begin{matrix} a_{0} + a_{1} + ... + a_{n} \leq 1. \end{matrix}

Már most

f' (x) = a_{1} + 2 a_{2} x + 3 a_{3} x^{2} + ... + n a_{n} x^{n - 1}

.
Ennek ugyancsak abszolút maximuma áll elő az

x = 1

helyen, tekintettel arra, hogy

a_{i} \geq 0

, mégpedig

\begin{matrix} f' (1) = a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + ... + n a_{n} . \end{matrix}

Tetszőleges

x

helyen tehát

\begin{matrix} f' (x) \leq a_{1} + 2 a_{2} + ... + n a_{n} < n (a_{0} + a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}) \leq n . \end{matrix}

Az egyenlőtlenségi jel csak akkor érvényes, ha

a_{0} = a_{1} = ... = a_{n - 1} = 0

és

a_{n} = 1

.
Ugyanis az

a_{0} + a_{1} + a_{2} + ... + a_{n - 1} + a_{n} = 1

egyenlőségből következik:

n a_{0} + n a_{1} + n a_{2} + ... + n a_{n - 1} + n a_{n} = n

.
Ha pedig még

a_{1} + 2 a_{2} + ... + (n - 1) a_{n - 1} + n a_{n} = n

,
akkor

n a_{0} + (n - 1) a_{1} + (n - 2) a_{2} + ... + a_{n - 1} = 0

.
Minthogy

a_{i}

nem lehet negatív, ezen egyenlőség akkor és csak akkor állhat meg, ha

\begin{matrix} a_{0} = a_{1} = a_{2} = ... = a_{n - 1} = 0 és így a_{1} = 1. \end{matrix}

Mandl Béla (Zrínyi Miklós g. VIII. o. Bp.).