Kezdőlap


Feladat:	1375. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Berger Tibor , Csáky Gyula , Cseh Sándor , Csuri Vilmos , Donáth Gy. , Fehér György , Fonó András , Freud Géza , Füsz János , Grünfeld Sándor , Halász Iván , Hoffmann Tibor , Holzer Pál , Hörcher János , ifj. Jankovich I. , ifj. Seidl Gábor , Klein József , Komlós János , Lipsitz Imre , Mandl I. , Mandl Tibor , Mató János , Mendelsohn György , Nagy Elemér , Névtelen , Radovics György , Sándor Gyula , Sauer Jenő , Schreiber Béla , Sebestyén Gyula , Sommer György , Somogyi Antal , Triznya János
Füzet:	1938/február, 171. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Euler-Fermat-tételek, Maradékos osztás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/december: 1375. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Fermat-tétele szerint

\begin{matrix} n (n^{6} - 1) \end{matrix}

mindig osztható

7

-tel, ha

n

közönséges egész szám. Ugyanis

n

vagy többszöröse

7

-nek, vagy

7

-hez relatív prím. Az első esetben

n

, a második esetben

n^{6} - 1

osztható

7

-tel. Más szóval:

n^{6}

7

-tel való osztásnál maradékul zérust vagy

1

-et ad. ^{$^{*}$}
Azonban:

\begin{matrix} n (n^{6} - 1) = n (n^{3} - 1) (n^{3} + 1), \end{matrix}

tehát a jobboldali tényezők egyike

7

többszöröse, minthogy

7

törzsszám.
Azaz:

n^{3}

osztva

7

-tel, maradékul

0

vagy

\pm 1

lép fel.
Eszerint:

\begin{matrix} x^{3} & = 7 k, vagy 7 k \pm 1 \\ y^{6} & = 7 l, vagy 7 l + 1. \\ x^{3} + y^{6} = & 7 z vagy 7 z \pm 1, vagy 7 z + 2. \end{matrix}

Mató János (Ciszterci Szent Imre g. VIII. o. Bp. XI.)

^{$^{*}$}L. I. évf. 3. sz. 55. o. (2. feladatban).