A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) Induljunk ki abból az esetből, amidőn a tetraéder csúcsában három, páronként egymásra merőleges él fut össze. Ilyenkor a tetraéder magassági pontja, az csúccsal szembenfekvő lapon hegyesszögű háromszög tartozik lenni, az csúcsból az lapra bocsátott magasság talppontja az magassági pontja. Az területének négyzete pedig egyenlő az oldallapok (, , ) területének négyzetösszegével. Ha az magassági pontja , az magasságainak talppontjai (a háromszög megfelelő oldalain) , , , akkor, mivel , , az -nél derékszögű háromszögek, | | és
Megjegyezzük még, hogy az csúcs az síkra, a pontban állított merőlegesnek és az bármely oldalához, mint átmérőhöz tartozó gömb metszéspontja. (L. a 466. feladatban!) b) Legyen már most, az oly orthocentrikus tetraéder, melynek minden határlapja hegyesszögű háromszög, tehát mindegyik testszöglete hegyes. Az orthocentrikus tetraéderben mindegyik magasság talppontja a szembenfekvő határlapon, az illető határlap ill. határháromszög magassági pontja ‐ hiszen az ilyen tetraéder szembenfekvő élei egymásra merőlegesek. (L. egyébként a II. évf. 179. oldalán a 110. feladatot!) Hegyesszögű háromszögben a magassági pont a háromszögön belül van; kell tehát, hogy a tetraéder magassági pontja a tetraéderen belül legyen.
Tekintsük pl. a tetraéder magasságát, ahol az magassági pontja. Már most pl. az élhez, mint átmérőhöz tartozó gömb az lapot egy legnagyobb körben metszi úgy, hogy ezen körön, ill. a gömbön kívül fekszik; a gömb az magasságot oly pontban metszi, mely és között fekszik és az tetraéder az a) alatti tulajdonságokkal bír, úgy hogy | | ahol az csúcsából kiinduló magasság talppontja , , . Eszerint
Az utóbbi egyenlőtlenségek azt fejezik, hogy mindegyik oldallap területe nagyobb, mint az alaplap és az oldallap (az alaplapon való) vetületének mértani középarányosa, azaz
Összeadva ezen egyenlőtlenségek megfelelő oldalait | |
A jobboldali zárójeles összeg azonban az területét jelenti és így | |
Kimutattuk tehát, hogy ha az orthocentrikus tetraéder valamelyik testszöglete hegyes, akkor a szembenfekvő határlap területének négyzete kisebb, mint a többi lapokénak négyzetösszege! c) Tegyük fel már most, hogy az orthocentrikus tetraéder olyan, hogy az szöglet tompaszögű. Ekkor -nek az alapélek bármelyikéhez, mint átmérőhöz tartozó gömb belsejében kell feküdnie és ekkor (ahol ugyanazt a pontot jelenti, mint b) alatt). A b) alatti egyenlőtlenségek értelme megváltozik, úgy hogy ezen esetben | | azaz, ha a tetraéder egyik szöglete tompa, akkor az ezzel szembenfekvő határlap (területének) négyzete nagyobb, mint az oldallapok területének négyzetösszege. Az ilyen tetraédernél a tetraéder magassági pontja a tetraéderen kívül esik. Ugyanis az , , csúcsból a szemközti határlapra bocsátott tetraédermagasság talppontja az illető határlap magassági pontja. Mivel pedig az , , csúccsal szembenfekvő határlap -nél tompaszögű, ennek magassági pontja a háromszögön, ill. a tetraéderen kívül esik és így az csúcsokból kiinduló tetraéder-magasságok, ill. ezek metszőpontja, a tetraéder magassági pontja is a tetraéderen kívül esik. Ezek alapján kell, hagy a feladatban foglalt tétel igaz legyen. Mert, ha mindegyik határlap (területének) négyzete kisebb a többi lapok négyzetösszegénél, akkor nem lehet, hogy az egyik szöglet derékszögű vagy tompaszögű legyen: az a) ill. c) eset állana elő a területek négyzetét illetőleg. Ha pedig egyik határlap négyzete nagyobb a többiek négyzetösszegénél, akkor kell, hogy ezen határlappal szemben tompaszögű testszöglet legyen; mert ha nem az, akkor az a) vagy b) eset állana elő, a területek négyzetét illetőleg. L. V. évfolyamunk 241. oldalán a 466. feladatban (1929/4. 241. old. ‐ a szerk.)L. II. évfolyamunk 142. oldalán a 91. feladatban (1926/1. 142. old. ‐ a szerk.).Ugyanis hegyesszög! A tetraéder magassági pontja és között fekszik. Ugyanis az magassági pontja, , az átmérő félkörön, ill. gömbön belül fekszik; ezen belül fekszik is. ( a gömbön!) Így a tetraéder magassága az -et csak és között metszheti (az pontban).A jel helyett áll elő, ha -nél mindegyik élszög derékszög!Ha tompaszög, akkor az átmérőjű körön belül fekszik! |