Kezdőlap


Feladat:	1373. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Berger Tibor , Fehér György , Holló György , Klein József , Komlós János , Sebestyén Gyula
Füzet:	1938/február, 181 - 182. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Apollóniusz-kör, Hatványvonal, hatványpont, Alakzatok hasonlósága, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Síkgeometriai szerkesztések, Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/november: 1373. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Tegyük fel, hogy feladatunkat megoldottuk: $M$ pont megfelel a feladat követelményének, úgy, hogy $C D ∥ A B$ . Tekintsük már most az $A M B △$ köré írt $γ$ kört. Minthogy $C D ∥ A B$ , nyilván $\frac{M A}{M C} = \frac{M B}{M D}$ , azaz a két kör az $M$ pontra nézve hasonló helyzetű; azonban $M$ az $O$ és $γ$ körök közös pontja csak akkor lehet hasonlósági centrum, ha érintkezési pontja a két körnek. Szerkesztenünk kell tehát oly $γ$ kört, mely keresztülmegy az $A$ és $B$ pontokon és az $O$ kört érinti. Ilyen kör kettő van, hacsak $A$ és $B$ az $O$ körre nézve a sík ugyanazon részében vannak.

Szerkesszünk egy

k

kört, mely keresztül megy az

A

B

pontokon és az

O

kört metszi, a

K L

pontokban. Ekkor a

K L

egyenes, a

k

és

O

körök hatványvonala,

A B

-t oly

P

pontban metszi, melynek hatványa a

k

és

O

körökre nézve egyenlő, továbbá a

γ

és

k

körökre nézve is egyenlő. Eszerint a

P

hatványa a

γ

és

O

körökre nézve is ugyanakkora: kell tehát, hogy

γ

és

O

hatványvonala, azaz közös érintőjük a szilárd

P

ponton menjen keresztül.
A

P

pontot az előbbiek szerint meghatározzuk és

P

-ből

O

-hoz érintőket húzunk,

M_{1}

és

M_{2}

érintési pontokkal: ezek lesznek a keresett

M

pontok.
E szerkesztés nem végezhető, ha pl.

A

a körön kívül,

B

a körön belül van. Ugyanis, ha a kör tetszőleges

M

pontját összekötjük

A

-val és

B

-vel,

C

és

M

A B

egyenes ugyanazon oldalán, azonban

D

és

M

A B

ellenkező oldalán feküsznek és így

C D

metszeni fogja

A B

-t.

Klein József (izr. g. VII. o. Debrecen).

II. Megoldás. Ha

M

a feladat követelményének megfelel, úgy hogy

A B ∥ C D

, akkor

\begin{matrix} \frac{A C}{A M} = \frac{B D}{B M} vagy \frac{A C \cdot A M}{{\bar{A M}}^{2}} = \frac{B D \cdot B M}{{\bar{B M}}^{2}} . \end{matrix}

Azonban

\bar{A C} \cdot \bar{A M} = α^{2}

A

\bar{B D} \cdot \bar{B M} = β^{2}

B

pontnak az

O

körre vonatkozó hatványa; ezek tehát ismereteseknek tekinthetők és megegyező előjelűek is tartoznak lenni. ^{$^{*}$} Eszerint

\begin{matrix} \frac{{\bar{B M}}^{2}}{{\bar{A M}}^{2}} = {(\frac{α}{β})}^{2}, \frac{B M}{A M} = \frac{α}{β}, \end{matrix}

azaz az

M

pontra nézve az

A

és

B

pontoktól való távolságok viszonya állandó és így az

M

pont mértani helye az

A

és

B

pontokhoz tartozó,

\frac{α}{β}

értéknek megfelelő Apollonius-féle kör, mely

O

-t az

M_{1}

és

M_{2}

pontokban metszi.

^{$^{*}$}Vagy mindkettő a körön belül, vagy a körön kívül!