A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Megoldás. Ha egy zárt sokszög oldalait, ugyanazon forgás irányban haladva, egy egyenesre vetítjük, a vetületek algebrai összege zérus. Alkalmazzuk ezen tételt a szabályos hétszögre úgy, hogy az összes oldalakat az egyik oldalát tartó egyenesre vetítjük, a pozitív forgás irányában haladva.
A szabályos hétszög mindegyik szöge . Az első oldal és egyenes hajlásszöge ; vetülete . A következő oldal hajlásszöge -hez ; vetülete . Minden következő oldal az előbbiből mérőszámnak megfelelő szöggel fordul el, az -hez való hajlásszög oldalról-oldalra haladva -vel növekszik. Eszerint a vetületek összege: | | (1) | Azonban | | Hasonlóan | | Eszerint a zárójelben foglalt összeg:
II. Megoldás. Az előbbi megoldásban kimutattuk, hogy | |
Ha figyelemmel vagyunk arra, hogy az egyenlet gyökei | | alakban írhatók és ezen gyökök összege zérus, akkor | |
Komlós János (Gr. Széchenyi István gy. r. VIII. o. Pécs) Nagy Elemér (Ciszterci Szent Imre g. VIII. o. Bp. XI.)
III. Megoldás. Vizsgáljuk az általánosabb | | (1) | összeget, amelyben a szögek számtani haladványt alkotnak; a haladvány első tagja , különbsége is . Szorozzuk az 1) minden tagját -vel. Ekkor
Minthogy , s. i. t, a jobboldalon álló tagok az összegezésnél eltűnnek, kivéve kettőt, úgyhogy | | Az adott esetben , , tehát | | Azonban és így Az ilyen összeg kiszámítását tetszőleges különbség esetére is, lásd IV. évfolyamunk 197. o. (Goldziher: Goniometrikus többtagúak). |