Feladat: 1371. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Berger Tibor ,  Bleyer J. ,  Bluszt Ernő ,  Bodó Zalán ,  Bulkay L. ,  Csuri Vilmos ,  Danciger E. ,  Egri J. ,  Fehér György ,  Grünfeld Sándor ,  Halász Iván ,  Hoffmann Tibor ,  Holzer Pál ,  ifj. Seidl G. ,  Katter H. ,  Klein József ,  Komlós János ,  Krisztonosich Jenő ,  Mandl Béla ,  Marosán Zoltán ,  Nagy Elemér ,  Radovics György ,  Sándor Gyula ,  Schreiber Béla ,  Sebestyén Gyula ,  Szabó János ,  Székely Z. ,  Szerényi László ,  Szkitsák Rudolf 
Füzet: 1938/január, 152. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feuerbach-kör, Kör egyenlete, Parabola egyenlete, Egyenes, Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1937/november: 1371. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Derékszögű koordinátarendszerünk X-tengelyéül válasszuk a BC egyenest, kezdőpontul BC felezőpontját O-t. A B csúcs koordinátái (b, 0), a C ponté (-b, 0), az A csúcsé (λ, h), ahol λ változó, míg a h állandó.

 
 

A háromszög Feuerbach-köre keresztülmegy az oldalak felezőpontjain, tehát az
O(0,0),P(-b+λ2,h2),Q(b+λ2,h2)
pontokon. A Feuerbach-kör egyenlete, minthogy keresztülmegy az origón,
x2+y2+kx-ly=0
alakban írható. Ezen egyenletet kielégítik a P és Q pontok koordinátái:
(-b+λ2)2+(h2)2+k(-b+λ2)+lh2=0,(b+λ2)2+(h2)2+k(b+λ2)+lh2=0.


Ezen két egyenletből a megfelelő tagok kivonása után:
bλ+bk=0,azazk=-λ.
k értékét helyettesítve
l=b2+h2-λ22h.
A Feuerhach-kör középpontjának koordinátái:*
ξ=-k2=+λ2,η=-l2=+b2+h2-λ24h.
λ paramétert kiküszöbölve, a Feuerbach-kör középpontjának koordinátái között az
η=b2+h2-ξ244hvagyy=4(b2+h2)-x216h
összefüggéshez, azaz parabola egyenletéhez jutunk.
Ha tehát A a BC-vel párhuzamos egyenest ír le, az ABC Feuerbach-körének középpontja oly parabolát ír le, melynek főtengelye a BC-t merőlegesen felező egyenes és felső tetőpontja van, ha t. i. h>0, ezen egyenesen, BC-től b2+h24h távolságban. (Ezen pont akkor lesz a Feuerbach-kör középpontja, ha ABC egyenlőszárú.)
 
Berger Tibor (Áll. Fáy András g. VIII. o. Bp. IX.)

*A Feuerbach-kör keresztülmegy az A-ból húzott magasság talppontján, A1-n is. OA1 a kör húrja, téhát a kör középpontja ezen húrt felező x=λ2 egyenesen fekszik!