Kezdőlap


Feladat:	1370. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Berger Tibor , Bleyer L. , Bluszt Ernő , Bodó Zalán , Breuer Gy. , Bulkay Lajos , Csuri Vilmos , Danciger E. , Domján J. , Fehér György , Fonó Péter , Freud Géza , Halász Iván , Hoffmann Tibor , Holzer Pál , Katter H. , Kemény György , Kieweg Ferenc , Királyhidi Gy. , Kirtyán E. , Klein József , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Lipsitz Imre , Lőke Péter , Mandl Béla , Marosán Zoltán , Nádor Gy. , Nagy Elemér , Németh E. , Pándy E. , Petrovich J. , Sándor Gyula , Sauer Jenő , Schreiber Béla , Sebestyén Gyula , Seidl Gábor , Szabó János , Székely Z. , Szerényi László , Szilágyi S. , Szittyai Dezső , Szkitsák Rudolf , Tasnádi F. , Vajnai I. , Vásárhelyi Nagy Sándor , Zubek P. , Zsoldos Elek
Füzet:	1938/január, 150 - 151. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Alakzatok szimmetriái, Síkgeometriai bizonyítások, Egyenesek egyenlete, Paralelogrammák, Téglalapok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/november: 1370. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Az $O A B C$ téglalap köré írt téglalap legyen ábránk szerint $E F G H$ . Elegendő ha kimutatjuk, hogy az első téglalap egyik átlója pl. $O B$ , felezi a másik téglalap egyik átlóját pl. $E G$ -t. Ezen célból pedig bebizonyítjuk, hogy $O E # G B$ .
Szerkesztésünk szerint $O E ∥ G B$ , továbbá $O E C Δ ≃ B G A Δ$ . Ugyanis e két derékszögű háromszögben az átlóik egyenlők: $O C = A B$ . Minthogy $O E ∥ G B$ $E O C ∢ = A B G ∢$ . Ebből következik, hogy $O E = B G$ . Eszerint $O E # B G$ , az $O E B G$ idom parallelogramma, tehát átlói: $O B$ és $E G$ felezik egymást.

Szittyai Dezső (Wagner g. V. o. Rákospalota)

Jegyzet. A tétel érvényes bármely parallelogrammára.

II. Megoldás. Derékszögű koordinátarendszerünk tengelyei legyenek az

O A

és

O C

egyenesek;

A

pont koordinátái: (

a

, 0),

C

ponté (0,

b

B

ponté (

a

b

). Az

F G

és

E H

egyenesek irányhatározója

m

E F

és

G H

-é

- \frac{1}{m}

\begin{matrix} \begin{matrix} 1)  Az & F G & egyenes & egyenlete: & y = m (x - a) ... \\ 2)  Az & E H & ,, & ,, & y = m x + b ... \\ 3)  Az & E F & ,, & ,, & y = - \frac{1}{m} x ... \\ 4)  A & G H & ,, & ,, & y = - \frac{1}{m} (x - a) + b ...) \end{matrix} \end{matrix}

Keressük az

E

és

G

pontok koordinátáit.

E

a 2) és 3) egyenesek metszőpontja, tehát

E

koordinátáira nézve:

y = m x + b

és

y = - \frac{1}{m} x

. Innen

E

-re nézve:

x_{1} = - \frac{m b}{m^{2} + 1}, y_{1} = \frac{b}{m^{2} + 1} .

.
A

G

az 1) és 4) egyenesek közös pontja, tehát

G

-re nézve

y = m (x - a)

és

y = - \frac{1}{m} (x - a) + b

, tehát

G

koordinátái:

\begin{matrix} x_{2} = a + \frac{m b}{m^{2} + 1}, y_{2} = \frac{m^{2} b}{m^{2} + 1} \end{matrix}

E G

távolság felezőpontjára nézve

\begin{matrix} ξ = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{a}{2}, η = \frac{y_{1} + y_{2}}{2} = \frac{1}{2} \frac{(m^{2} + 1) b}{m^{2} + 1} = \frac{b}{2} . \end{matrix}

Azonban

\frac{a}{2}

\frac{b}{2}

O B

távolság felezőpontjának koordinátái:

E G

felezi

A B

-t és így a két téglalapnak közös középpontja van.

Szkitsák Rudolf és Szabó János (Kir. kath. g. VIII. o. Bp. II.)