Kezdőlap


Feladat:	1369. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baán Sándor , Berger Tibor , Bleyer J. , Bluszt Ernő , Bodó Zalán , Breuer Gy. , Bulkay Lajos , Danciger E. , Egri J. , Fehér György , Freud Géza , Gállik J. , Gerő B. , Hajnal Miklós , Halász Iván , Hatvani Gy. , Hoffmann Tibor , Holzer Pál , Katter H. , Kemény György , Kieweg Ferenc , Királyhidi Gy. , Klein Kathó , Komlós János , Krisztonosich Jenő , Lázár G. , Lazarovits I. , Lipsitz Imre , Mandl Béla , Marosán Zoltán , Nagy Elemér , Papp I. , Petrovits I. , Róth Pál , Rusznák I. , Sándor Gyula , Sauer Jenő , Schreiber Béla , Schäffer Ö. , Sebestyén Gyula , Szabó János , Szél Gy. , Szilágyi S. , Szkitsák Rudolf , Tasnádi F. , Vajkóczi J. , Vásárhelyi Nagy Sándor , Zubek P.
Füzet:	1938/január, 149 - 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Egyenlőtlenségek, Függvényvizsgálat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/november: 1369. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ . Az adott másodfokú egyenlet gyökei valósak, ha diszkriminánsa nem negatív, tehát ha

\begin{matrix} {(k - 1)}^{2} - (k - 1) (k - 3) \equiv 3 k - 5 ≧ 0, ill. k ≧ \frac{5}{3} . \end{matrix}

k = \frac{5}{3}

, akkor a gyökök egyenlők és közös értékük:

\begin{matrix} - (\frac{5}{3} - 1) : (\frac{5}{3} - 2) = + 2. \end{matrix}

2^{0}

. Hogy az egyenlet mindkét gyöke

+ 1

-nél nagyobb legyen szükséges, hogy

f (+ 1)

előjele megegyezzék

x^{2}

együtthatójának előjelével, azaz

(k - 2) f (+ 1) > 0

és a gyökök félösszege

+ 1

-nél nagyobb legyen. Már most

\begin{matrix} f (+ 1) = k - 2 + 2 (k - 1) + k - 3 = 4 k - 7. \end{matrix}

(k - 2) (4 k - 7) > 0

, ha

k > 2

, vagy

k < \frac{7}{4}

(de k > \frac{5}{3}

, hogy a gyökök valósak legyenek és

\frac{7}{4} > \frac{5}{3})

.
A gyökök félösszege:

\frac{k - 1}{2 - k} > 1

,
ha

\begin{matrix} \frac{k - 1 - (2 - k)}{2 - k} > 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{2 k - 3}{2 - k} > 0. \end{matrix}

Ezen feltétel ki van elégítve, ha

\frac{3}{2} < k < 2

.
Eszerint

k > 2

értékek nem jöhetnek tekintetbe, csak azon értékek, amelyekre nézve

\begin{matrix} \frac{5}{3} < k < \frac{7}{4}, \end{matrix}

(mert ekkor egyszersmind \frac{3}{2} < k < 2)

3^{0}

. A gyökök félösszege:

s = \frac{k - 1}{2 - k} = \frac{k - 2 + 1}{2 - k} = - 1 + \frac{1}{2 - k}

.
Ezen függvény folytonos, kivéve a

k = 2

helyen. Ha

k

növekedik,

2 - k

fogy,

\frac{1}{2 - k}

növekedik, tehát

s

állandóan növekedik; a

k = 2

helyen szakadása van és itt

s = \pm \infty

. A

k = 2

egyenes a görbe egyik aszimptotája.
Ha

k

abszolút értéke a végtelen felé tart, akkor

s

értéke

- 1

-hez közeledik. Az

s = - 1

egyenes a görbe másik aszimptotája: egyenlő szárú hiperbolával van dolgunk.
A függvény változását jellemző táblázat:

\begin{matrix} \begin{matrix} k & - \infty & \dots & 0 & \dots & 1 & \dots & 2 & \dots & \infty \\ s & - 1 & ↗ & - \frac{1}{2} & ↗ & 0 & ↗ & + \infty | | - \infty & ↗ & - 1 \end{matrix} \end{matrix}

Mandl Béla (Áll. Zrinyi Miklós g. VIII. o. Bp. VIII.)