Feladat: 1368. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baán Sándor ,  Berger Tibor ,  Bluszt Ernő ,  Bodó Zalán ,  Bulkay Lajos ,  Csáky Gy. ,  Cseh Sándor ,  Csuri Vilmos ,  Czipott Zoltán ,  Donáth Géza ,  Egri J. ,  Freud Géza ,  Gállik István ,  Grünfeld Sándor ,  Hajnal Miklós ,  Halász Iván ,  Hoffmann Tibor ,  Holzer Pál ,  Hörcher János ,  ifj. Jankovich I. ,  ifj. Seidl Gábor ,  Inczédy Anna ,  Juhász Kató ,  Kassa L. ,  Katter H. ,  Kemény György ,  Klein József ,  Komlós János ,  Krebsz J. ,  Lipsitz Imre ,  Mandl Béla ,  Marosán Zoltán ,  Nagy Elemér ,  Radovics György ,  Rusznák I. ,  Sándor Gyula ,  Schreiber Béla ,  Somogyi Antal ,  Szabó János ,  Székely Z. ,  Szerényi László ,  Szkitsák Rudolf ,  Tóth Miklós ,  Vajkóczi J. 
Füzet: 1938/január, 148 - 149. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1937/november: 1368. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a gyökök a, b, c. Az egyenlet baloldala a gyöktényezők szorzata:

(x-a)(x-b)(x-c)≡x3+px+q,x3-(a+b+c)x3+(ab+ac+bc)x-abc≡x3+px+q.



Ezen azonosság azt jelenti, hogy x egyenlő hatványaihoz tartozó együtthatók egyenlők, tehát:
a+b+c=0...;(1)ab+ac+bc=p...;(2)abc=-q....(3)
Feltevésünk szerint: ab=1 tehát 3)-ból c=-q és 1)-ből: a+b=-c=q.
A 2) szerint 1+c(a+b)=p vagyis 1-q2=p... 4)
Ez annyit jelent, hogy a p és q együtthatók között a 4) összefüggésnek kell fennállania, ha két gyök szorzata 1.
Mármost, ha ab=1 és a+b=q, akkor a és b az u2-qu+1=0 egyenlet gyökei és így
a=12(q±q2-4),b=12(q∓q2-4),c=-q.

Csuri Vilmos (Áll. Kossuth Lajos g. VII. o. Pestszenterzsébet)