Feladat: 1366. matematika feladat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Berger Tibor ,  Biró J. ,  Bleyer Jenő ,  Bluszt Ernő ,  Bodó Zalán ,  Breuer Gy. ,  Bulkay Lajos ,  Büchler E. ,  Csáky Gy. ,  Cseh Sándor ,  Csuri Vilmos ,  Danciger E. ,  Domján J. ,  Donáth Géza ,  Donáth Gy. ,  Egri J. ,  Engel J. ,  Fehér György ,  Fonó András ,  Freud Géza ,  Füzy O. ,  Gállik J. ,  Grünfeld Sándor ,  Hajnal Miklós ,  Halász Iván ,  Hatvani Gy. ,  Hoffmann Tibor ,  Holló György ,  Holzer Pál ,  ifj. Jankovich I. ,  ifj. Seidl Gábor ,  Inczédy Anna ,  Kassa L. ,  Katter H. ,  Kirtyán E. ,  Klein József ,  Komlós János ,  Krebsz J. ,  Krisztonosich Jenő ,  Kurucz L. ,  Kurz M. ,  László K. ,  Lipsitz Imre ,  Magyar Gy. ,  Mandl Béla ,  Marosán Zoltán ,  Nádas J. ,  Nagy Elemér ,  Németh E. ,  Pál I. ,  Papp István ,  Petrovics J. ,  Radovics György ,  Rusznák I. ,  Sándor Gyula ,  Sauer Jenő ,  Schreiber Béla ,  Sebestyén Gyula ,  Somogyi Antal ,  Szabó János ,  Szél Gy. ,  Szerényi László ,  Szilágyi S. ,  Szittyai Dezső ,  Szkitsák Rudolf ,  Tasnádi F. ,  Tóth M. ,  Tóth Z. ,  Triznya János ,  Törley D. ,  Vadas J. ,  Vajkóczi J. ,  Vasadi G. ,  Vásárhelyi Nagy Sándor 
Füzet: 1938/január, 147. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tizes alapú számrendszer, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1937/november: 1366. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A keresett háromjegyű szám legyen 100x+10y+z. A feladat szerint

100x+10y+z+x+y+z=100a+10a+a,(1)
ill.
100x+10y+(x+y+2z)=111a,...(2)
ahol x, y, z, a a 10-nél kisebb pozitív egész számok; y és z lehet zérus is. (Sem a, sem x nem lehet 0!)
Már most két eset lehetséges: az 1) mindkét egyenletében a százasok száma megegyező, azaz x=a, vagy a baloldalon álló egyesek és tízesek összeadásából keletkező tízesek száma kitesz ‐ legfeljebb ‐ egy százast, amikor is x+1=a, ill. x=a-1.
 

I. Az x=a esetben 2)-ből keletkezik:
11y+2z=10avagyz=5a-11y2...(3)

Látjuk tehát, hogy y csak 0, 2, 4, 6, 8 lehet. y=0 mellett z=5a; csak a=1 lehetséges és így x=1, z=5. (105!)
y=2 esetében z=5a-11; minthogy 05a-119, csak a=3 és 4 lehetséges és így z=4, ill. 9.
A megtelelő számok 324 és 429.
y=4 esetében 0z=5a-229, tehát a=5, ill. 6. Így x=5, ill. x=6, és z=3 ill. z=8.
A megfelelő számok 543 és 648.
y=6 esetében 0z=5a-339; innen a=7, ill. 8. Így x=7, ill. 8 és z=2, ill. 7.
A megfelelő számok 762 és 867.
y=8 mellett 0z=5a-449; innen csak a=9, x=9, z=1.
A megfelelő szám 981.
 

II. x=a-1 esetben a2. Ekkor 2)-ből keletkezik:
11y+2z=10a+101,ill.z=5a+101-11y2...(4)

Minthogy a legalább 2 és y legfeljebb 9, nyilván z>10.
Ilyen megoldás tehát nincs és így a feladatnak megfelelő számok:
105,324,429,543,648,762,867,981.

Holló György (Áll. Dobó István g. VI. o. Eger)