Kezdőlap


Feladat:	1365. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hajnal Miklós , Holzer Pál , Kirtyán E. , Krisztonosich Jenő , Mandl Béla , Schreiber Béla , Somogyi Á. , Weisz Alfréd
Füzet:	1938/január, 132. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Paralelogrammák, Síkbeli ponthalmazok távolsága, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Térgeometriai bizonyítások, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd), Versenyek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/november: 1365. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $K$ a $P Q$ távolság felezőpontját. Kössük össze a $P$ , $Q$ , $K$ pontokat az $A_{i}$ ponttal és hosszabbítsuk meg az $A_{i} K$ -t a $K B_{i} = A_{i} K$ távolsággal. Ekkor $A_{i} P B_{i} Q$ négyszögben az átlók: $A_{i} B_{i}$ és $P Q$ felezik egymást a $K$ pontban, tehát a négyszög parallelogramma és ezért $Q B_{i} = A_{i} P$ . Az $A_{i} Q B_{i} △$ oldalaira nézve érvényes:

\begin{matrix} A_{i} B_{i} < A_{i} Q + Q B_{i} vagyis 2 A_{i} K < A_{i} Q + A_{i} P . \end{matrix}

Alkalmazva ezen egyenlőtlenséget az

i = 1

, 2,

...

n

esetek mindegyikében, keletkezik

\begin{matrix} 2 \sum_{i = 1}^{n} A_{i} K < \sum_{i = 1}^{n} A_{i} P + \sum_{i = 1}^{n} A_{i} Q = 2 S, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} A_{i} K < s . \end{matrix}

Holzer Pál (Faludi Ferenc g. VIII. o. Szombathely)