Kezdőlap


Feladat:	1362. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fehér György , Sebestyén Gyula , Weisz Alfréd
Füzet:	1937/december, 119 - 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai bizonyítások, Analógia, mint megoldási módszer, Euler-egyenes, Feuerbach-kör, Magasságpont, Körülírt kör középpontja, Poliéderek súlypontja, Szabályos tetraéder, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/október: 1362. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. A magassági ponttal bíró tetraédert nevezzük orthocentrikusnak.¹ Az ilyen tetraéderben az $M$ magassági pont (orthocentrum) vetülete valamely határlapon ezen határlap $M_{i}$ magassági pontja; a körülírt gömb $O$ középpontjának az illető határlapon vetülete az illető határlap köré írható kör $O_{i}$ középpontja. Az $M O$ távolságot felezi a tetraéder $S$ súlypontja. Az $M O$ egyenes vetülete a tetraéder határlapján az illető lap Euler‐egyenese. Az $S$ pont vetülete az illető határlaphoz tartozó Feuerbaeh‐kör középpontja, $F_{i}$ , úgy hogy $M_{i} F_{i} = F_{i} O_{i}$ .

Fektessünk az orthocentrumos tetraéder

A_{1}

csúcsán, az

M

orthocentrumon és az

S

súlyponton keresztül síkot. Ez merőleges az

A_{2} A_{3} A_{4}

lapra.

A_{1} M

talppontja az

A_{2} A_{3} A_{4} Δ

magassági pontja,

M_{1}

. Az

A_{1} M S

síkban az

M S

egyenesen fekszik a körülírt gömb

O

középpontja úgy, hogy

M S = S O

. Az

O

vetülete az

A_{2} A_{3} A_{4}

síkon

O_{1}

, az

S

vetülete

F_{1}

; tudvalevőleg

S F_{1} = \frac{1}{4} A_{1} M_{1}

.
Legyen már most

I_{1}

A_{1} M_{1}

szelet felezőpontja és így

S F_{1} = \frac{1}{2} I_{1} M_{1}

. Ekkor

I_{1} S

M_{1} F_{1}

egyenest oly

O_{1}

pontban metszi, amelyre nézve

M_{1} O_{1} = 2 M_{1} F_{1}

, azaz

O_{1}

A_{2} A_{3} A_{4} Δ

köré írt kör középpontja és

I_{1} S = S O_{1}

.
Ha már most

I_{1}

a tetraéder magassági pontja, akkor az előbbiek szerint a tetraéder köré írt gömb középpontja

O_{1}

és ez az

A_{2} A_{3} A_{4}

lapon fekszik.
Ha a tetraéder magassági pontja

I_{1}

-től

M_{1}

felé mozog, akkor a körülírt gömb

O

középpontja azon

e

egyenesen mozog a tetraéder belseje felé, amely az

A_{2} A_{3} A_{4}

lapra

O_{1}

-ben merőleges;

O

mindenkor az

e

és

M S

egyenes metszőpontja. Ha a tetraéder magassági pontja mindegyik magasságon a felezőpont és talppont közé esik, akkor mindegyik határlapra nézve a szemközti csúcs és

O

a határlap ugyanazon oldalán feküsznek, tehát

O

a tetraéderen belül van.
Ha pedig

M

pl. az

I_{1} M_{1}

szakaszon kívül van, akkor

I S

e

egyenest már oly pontban metszi, mely a tetraéderen kívül esik.

Jegyzet. Ha

M

M_{1}

-be esik, akkor ez csak úgy lehetséges, hogy

M_{1}

a tetraéder egyik csúcsa, amelyben összefutó élek páronként egymásra merőlegesek. Előáll tehát azon eset, hogy van egy magasság ‐ t. i.

M_{1}

-ből a szemközti lapra bocsátott magasság, ‐ amelyen a tetraéder magassági pontja nem fekszik a felezőpontja és talppontja közötti szakaszon.

II. Megoldás. Az

A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}

tetraéder köré írjunk parallelepipedont, a 2. számban, a 33. oldalon körülírt módon.² A parallelepipedon többi csúcsai

B_{1}

B_{2}

B_{3}

B_{4}

oly tetraéder csúcsai, amelynek az előbbivel közös

S

súlypontja van; a két tetraéder, röviden

A

és

B

, az

S

-re nézve centrálisan szimmetrikus.³ Ugyancsak a 2. sz. 35. oldalán, az utolsó bekezdésben foglaltakból kitűnik, hogy az

A

tetraéder köré írt gömb középpontja

B

-nek magassági pontja és viszont. Végül vegyük figyelembe, hogy a

B_{2} B_{3} B_{4}

lap az

A

tetraéder

A_{1}

csúcsából kiinduló

m_{1}

magasságot felezi és párhuzamos az

A_{2} A_{3} A_{4}

lappal.

Ezekből következik:
1. Ha az

A

tetraéder

M

magassági pontja az

m_{1}

talppontja és

I_{1}

felezőpontja között van, azaz a

B_{2} B_{3} B_{4}

és

A_{2} A_{3} A_{4}

síkok között, akkor a vele szimmetrikus

B

tetraéder magassági pontja, vagyis az

A

tetraéder köré írt gömb

O

középpontja ugyancsak az előbbi két sík között van, tehát

O

és

A_{1}

A_{2} A_{3} A_{4}

sík ugyanazon oldalán vannak. Ha az

M

magassági pont helyzete mindegyik tetraéder‐magasságra nézve olyan helyzetű, mint

m_{1}

-en, akkor

M

a tetraéder belsejében van.
2. Ha az

A

tetraéder

M

magassági pontja pl. az

m_{1}

felezi, azaz a

B_{2} B_{3} B_{4}

síkban van, akkor a

B

tetraéder magassági pontja, vagyis az

A

köré írt gömb

O

középpontja az

A_{2} A_{3} A_{4}

síkban van.
3. Ha az

A

tetraéder

M

magassági pontja az

m_{1}

talppontja és felezőpontja közötti szakaszon kívül van, azaz a

B

tetraéderen kívül, akkor a

B

tetraéder magassági pontja, vagyis az

A

köré írt gömb

O

középpontja az

A

tetraéderen kívül van.
Weisz Alfréd (Bolyai gimn. VIII. o. Bp. V.).

¹L. II. évfolyamunk 180. o. a 111., 206. o. a 115. feladatot (az 1926/2., ill. 1926/3. füzetekben ‐ a szerk.).

²XIV. évf. 2. sz. Egerváry: A tetraéderről (l. az 1937. év 10. havi füzetben ‐ a szerk.).

³ $A_{i}$ és $B_{i}$ egy testáló végpontjai. Mindegyik testátló keresztülmegy az éltengelyek metszőpontján; ezen pont úgy az $A$ , mint a $B$ tetraéder súlypontja.