Kezdőlap


Feladat:	1361. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fehér György , Nagy Elemér , Sebestyén Gyula
Füzet:	1937/december, 118 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paralelepipedon, Súlyvonal, Négyszögek geometriája, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1937/október: 1361. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. A parallelepipedon $A$ csúcsában összefutó élek: $A E = a$ , $A B = b$ , $A D = d$ ; oldalátlók: $A C = d$ , $A H = e$ , $A F = f$ ; testátlója $A G = g$ .
Tekintsük már most az $A B C G$ térnégyszöget;¹ ennek oldalai; $A B = b$ , $B C = A D = c$ , $C G = A E = a$ és $A G = g$ .
Ezen négyszögnek egyik átlója: $A C = d$ , a másik: $B G = A H = e$ . Ezen két átló felező pontjai $K$ , ill. $L$ . Nyilván $K L = A F = \frac{1}{2} f$ .

Kössük össze

K

-t

B

-vel és

G

-vel.

B K

A B C Δ

-ben az

A C

oldalhoz tartozó súlyvonal.
Ezért

\begin{matrix} b^{2} + c^{2} = 2 {\bar{B K}}^{2} + 2 {\bar{A K}}^{2} ... \end{matrix}

(1)

G K

A G C Δ

-ben az

A C

oldalhoz tartozó súlyvonal. Ezért:

\begin{matrix} a^{2} + g^{2} = 2 {\bar{G K}}^{2} + 2 {\bar{A K}}^{2} ... & (2) \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} + g^{2} = 2 {({\bar{B K}}^{2} + {\bar{G K}}^{2}) + (2 A K)}^{2} ... & (3) \end{matrix}

B K G Δ

-ben pedig

K L

B G

oldalhoz tartozó súlyvonal és ezért:

\begin{matrix} {\bar{B K}}^{2} + {\bar{G K}}^{2} = 2 {\bar{K L}}^{2} + 2 {\bar{B L}}^{2} ... \end{matrix}

(4)

Helyettesítve ezt 3)-ban:

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} + g^{2} = {(2 K L)}^{2} + {(2 B L)}^{2} + {(2 A K)}^{2} = f^{2} + e^{2} + d^{2} . \end{matrix}

Eszerint az általános parallelepipedonban az egy csúcsban ütköző élek és testátló négyzetének összege egyenlő az ugyanazon csúcsba ütköző három oldalátló négyzetének összegével.

Jegyzet. Ezen tétel a matematikai irodalomban Euler‐féle tétel néven ismeretes. Érvényes a síknégyszögre abban az értelemben, amint ez a XIII. évf. 195. oldalán², III. alatt látható: a síknégyszög oldalainak négyzetösszege egyenlő az átlók négyzetösszegével

+

az átlók felezőpontjait összekötő távolság négyszeres négyzetével.

II. Megoldás. IV. évfolyamunk 3. számában³ (54. o.), a 283. feladatban kimutattuk, hogy

a parallelepipedon három, egy csúcsból kiinduló élének végpontjai oly háromszöget határoznak meg, melynek síkját a háromszög súlypontjában döfi át a szóbanforgó csúcsból kiinduló testátló, továbbá ezen pont a testátlót 1:2 arányban osztja két részre.

Eszerint az

A (E B D)

tetraéderben a

g

testátló

\frac{1}{3}

része a tetraéder egyik súlyvonala, az

E B D Δ

súlypontján megy keresztül; az

A

csúcsból kiinduló élek

a

b

c

, az

E B D Δ

oldalai pedig az

E B = F'

E D = e'

B D = d'

oldalátlók.
A

G (E B D)

tetraéderben pedig a

g

testátló

\frac{2}{3}

része azon súlyvonal, mely az

E B D Δ

súlypontján megy keresztül; a

G

-ből kiinduló élek pedig a

d

e

f

oldalátlókkal egyeznek meg.
Alkalmazzuk már most ezen két tetraédernek

A

-ból, ill.

G

-ből kiinduló súlyvonalaira a 238. feladat keretében (III. évf. 243. o.⁴) kimutatott összefüggést a tetraéder egy‐egy súlyvonala és élei között; eszerint

\begin{matrix} 9 {(\frac{g}{3})}^{2} & = 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - (d'^{2} + e'^{2} + f'^{2}) \\ 9 {(\binom{2 g}{3})}^{2} & = 3 (d^{2} + e^{2} + f^{2}) - (d'^{2} + e'^{2} + f'^{2}) . \end{matrix}

E két egyenlet megfelelő oldalainak kivonásával keletkezik:

\begin{matrix} 3 g^{2} = 3 (d^{2} + e^{2} + f^{2}) - 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} g^{2} + a^{2} + b^{2} + c^{2} = d^{2} + e^{2} + f^{2} . \end{matrix}

Fehér György (Fazekas Mihály r. VIII. o. Debrecen).
Sebestyén Gyula (Fazekas Mihály r. VIII. o. Debrecen).

Jegyzet. A többi megoldás nem volt figyelembe vehető; ugyanis ezek derékszögű parallelepipedonra mutattak ki oly összefüggést, amely nyilván speciális esete az általánosnak.

¹Térnégyszög vagy torznégyszög.

²az 1937. évi 3. számban (a szerk.)

³az 1927. évi 10. számban (a szerk.)

⁴az 1927. évi 4. számban (a szerk.)